कैलकुलस उदाहरण

$x arctanh (x) + \ln (\sqrt{1 - x^{2}})$

चरण 1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x arctanh (x) + \ln (\sqrt{1 - x^{2}})$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x arctanh (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$ है.

$\frac{d}{d x} [x arctanh (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

चरण 2

$\frac{d}{d x} [x arctanh (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = arctanh (x)$ है.

$x \frac{d}{d x} [arctanh (x)] + arctanh (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

चरण 2.2

$x$ के संबंध में $arctanh (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 - x^{2}}$ है.

$x \frac{1}{1 - x^{2}} + arctanh (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x \frac{1}{1 - x^{2}} + arctanh (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

चरण 2.4

$x$ और $\frac{1}{1 - x^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{x}{1 - x^{2}} + arctanh (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

चरण 2.5

$arctanh (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x}{1 - x^{2}} + arctanh (x) + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

चरण 2.6

$arctanh (x)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{1 - x^{2}}{1 - x^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{x}{1 - x^{2}} + \frac{arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

चरण 2.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

चरण 3

$\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\sqrt{1 - x^{2}}$ को ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 1 - x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $1 - x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

चरण 3.3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $1 - x^{2}$ से बदलें.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

चरण 3.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

चरण 3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

चरण 3.6

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

चरण 3.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))$

चरण 3.8

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))$

चरण 3.9

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

चरण 3.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

चरण 3.11

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.11.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))$

चरण 3.11.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))$

चरण 3.12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))$

चरण 3.13

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))$

चरण 3.14

$0$ में से $2 x$ घटाएं.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))$

चरण 3.15

$\frac{1}{2}$ और ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x))$

चरण 3.16

$- 2$ और $\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)$

चरण 3.17

$\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

चरण 3.18

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.19

$- 2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.20

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.20.1

$2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 3.20.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.20.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.21

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 3.22

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.23

घातांक जोड़कर ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ को ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.23.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

चरण 3.23.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

चरण 3.23.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.23.4

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

चरण 3.24

${(1 - x^{2})}^{1}$ को सरल करें.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{1 - x^{2}}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x + arctanh (x) \cdot 1 + arctanh (x) (- x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{1 - x^{2}}$

चरण 4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$arctanh (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x + arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{1 - x^{2}}$

चरण 4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x + arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2}) - x}{1 - x^{2}}$

चरण 4.2.3

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2}) + 0}{1 - x^{2}}$

चरण 4.2.4

$arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2})$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2})}{1 - x^{2}}$

चरण 4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- x^{2} arctanh (x) + arctanh (x)}{- x^{2} + 1}$

चरण 4.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$- x^{2} arctanh (x) + arctanh (x)$ में से $arctanh (x)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1.1

$- x^{2} arctanh (x)$ में से $arctanh (x)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{arctanh (x) (- x^{2}) + arctanh (x)}{- x^{2} + 1}$

चरण 4.4.1.2

$1$ से गुणा करें.

$\frac{arctanh (x) (- x^{2}) + arctanh (x) \cdot 1}{- x^{2} + 1}$

चरण 4.4.1.3

$arctanh (x) (- x^{2}) + arctanh (x) \cdot 1$ में से $arctanh (x)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{arctanh (x) (- x^{2} + 1)}{- x^{2} + 1}$

चरण 4.4.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{arctanh (x) (- x^{2} + 1^{2})}{- x^{2} + 1}$

चरण 4.4.3

$- x^{2}$ और $1^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{arctanh (x) (1^{2} - x^{2})}{- x^{2} + 1}$

चरण 4.4.4

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1$ और $b = x$ .

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{- x^{2} + 1}$

चरण 4.5

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{- x^{2} + 1^{2}}$

चरण 4.5.2

$- x^{2}$ और $1^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{1^{2} - x^{2}}$

चरण 4.5.3

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

चरण 4.6

$1 + x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

चरण 4.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{arctanh (x) (1 - x)}{1 - x}$

चरण 4.7

$1 - x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{arctanh (x) (1 - x)}{1 - x}$

चरण 4.7.2

$arctanh (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$arctanh (x)$