कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{5} \sin (x)$

चरण 1

मान लें $y = f (x)$ , दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{5} \sin (x))$

चरण 2

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\ln (x^{5} \sin (x))$ को $\ln (x^{5}) + \ln (\sin (x))$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (y) = \ln (x^{5}) + \ln (\sin (x))$

चरण 2.2

$5$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{5})$ का प्रसार करें.

$\ln (y) = 5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

चरण 3

यह ध्यान में रखते हुए कि $y$ , $x$ का एक फलन है, चेन रूल का उपयोग करके व्यंजक में अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके बायीं ओर $\ln (y)$ में अंतर करें.

$\frac{y'}{y} = 5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

चरण 3.2

दाहिनी ओर अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ को अवकलित करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [5 \ln (x) + \ln (\sin (x))]$

चरण 3.2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [5 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

चरण 3.2.3

$\frac{d}{d x} [5 \ln (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 \ln (x)$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ है.

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

चरण 3.2.3.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

चरण 3.2.3.3

$5$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

चरण 3.2.4

$\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 3.2.4.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 3.2.4.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 3.2.4.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x)$

चरण 3.2.4.3

$\frac{1}{\sin (x)}$ को $\csc (x)$ में बदलें.

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \csc (x) \cos (x)$

चरण 3.2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) + \frac{5}{x}$

चरण 3.2.5.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.2.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\csc (x)$ को फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \frac{5}{x}$

चरण 3.2.5.2.2

$\cos (x)$ और $\frac{1}{\sin (x)}$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{5}{x}$

चरण 3.2.5.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ को $\cot (x)$ में बदलें.

$\frac{y'}{y} = \cot (x) + \frac{5}{x}$

चरण 4

$y'$ को अलग करें और दाएं पक्ष में $y$ के लिए मूल फलन को प्रतिस्थापित करें.

$y' = (\cot (x) + \frac{5}{x}) (x^{5} \sin (x))$

चरण 5

दाएं पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\cot (x)$ को फिर से लिखें.

$y' = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{5}{x}) (x^{5} \sin (x))$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (x^{5} \sin (x)) + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

चरण 5.3

$\sin (x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$x^{5} \sin (x)$ में से $\sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{5}) + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

चरण 5.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{5}) + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

चरण 5.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \cos (x) x^{5} + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

चरण 5.4

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$x^{5} \sin (x)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y' = \cos (x) x^{5} + \frac{5}{x} (x (x^{4} \sin (x)))$

चरण 5.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \cos (x) x^{5} + \frac{5}{x} (x (x^{4} \sin (x)))$

चरण 5.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \cos (x) x^{5} + 5 (x^{4} \sin (x))$

चरण 5.5

गुणनखंडों को $\cos (x) x^{5} + 5 x^{4} \sin (x)$ में पुन: क्रमित करें.

$y' = x^{5} \cos (x) + 5 x^{4} \sin (x)$