कैलकुलस उदाहरण

$Z = \frac{X Y}{X + Y}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d X} (Z) = \frac{d}{d X} (\frac{X Y}{X + Y})$

चरण 2

$X$ के संबंध में $Z$ का व्युत्पन्न $Z'$ है.

$Z'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

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चरण 3.1

चूंकि $Y$ , $X$ के संबंध में स्थिर है, $X$ के संबंध में $\frac{X Y}{X + Y}$ का व्युत्पन्न $Y \frac{d}{d X} [\frac{X}{X + Y}]$ है.

$Y \frac{d}{d X} [\frac{X}{X + Y}]$

चरण 3.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d X} [\frac{f (X)}{g (X)}]$ $\frac{g (X) \frac{d}{d X} [f (X)] - f (X) \frac{d}{d X} [g (X)]}{{g (X)}^{2}}$ है, जहाँ $f (X) = X$ और $g (X) = X + Y$ है.

$Y \frac{(X + Y) \frac{d}{d X} [X] - X \frac{d}{d X} [X + Y]}{{(X + Y)}^{2}}$

चरण 3.3

अवकलन करें.

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चरण 3.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ $n X^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$Y \frac{(X + Y) \cdot 1 - X \frac{d}{d X} [X + Y]}{{(X + Y)}^{2}}$

चरण 3.3.2

$X + Y$ को $1$ से गुणा करें.

$Y \frac{X + Y - X \frac{d}{d X} [X + Y]}{{(X + Y)}^{2}}$

चरण 3.3.3

योग नियम के अनुसार, $X$ के संबंध में $X + Y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d X} [X] + \frac{d}{d X} [Y]$ है.

$Y \frac{X + Y - X (\frac{d}{d X} [X] + \frac{d}{d X} [Y])}{{(X + Y)}^{2}}$

चरण 3.3.4

$Y \frac{X + Y - X (1 + \frac{d}{d X} [Y])}{{(X + Y)}^{2}}$

चरण 3.3.5

चूंकि $X$ के संबंध में $Y$ स्थिर है, $X$ के संबंध में $Y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$Y \frac{X + Y - X (1 + 0)}{{(X + Y)}^{2}}$

चरण 3.3.6

पदों को सरल करें.

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चरण 3.3.6.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$Y \frac{X + Y - X \cdot 1}{{(X + Y)}^{2}}$

चरण 3.3.6.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$Y \frac{X + Y - X}{{(X + Y)}^{2}}$

चरण 3.3.6.3

$X$ में से $X$ घटाएं.

$Y \frac{Y + 0}{{(X + Y)}^{2}}$

चरण 3.3.6.4

$Y$ और $0$ जोड़ें.

$Y \frac{Y}{{(X + Y)}^{2}}$

चरण 3.3.6.5

$Y$ और $\frac{Y}{{(X + Y)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{Y \cdot Y}{{(X + Y)}^{2}}$

चरण 3.4

$Y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{Y^{1} Y}{{(X + Y)}^{2}}$

चरण 3.5

$Y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{Y^{1} Y^{1}}{{(X + Y)}^{2}}$

चरण 3.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{Y^{1 + 1}}{{(X + Y)}^{2}}$

चरण 3.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{Y^{2}}{{(X + Y)}^{2}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$Z' = \frac{Y^{2}}{{(X + Y)}^{2}}$

चरण 5

$Z'$ को $\frac{d Z}{d X}$ से बदलें.

$\frac{d Z}{d X} = \frac{Y^{2}}{{(X + Y)}^{2}}$