कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$

चरण 1

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}} d x$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} d x + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

चरण 4

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{4 x + 3}} d x + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = 4 x + 3$ .फिर $d u = 4 d x$ , तो $\frac{1}{4} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 4 x + 3$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$4 x + 3$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 x + 3]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 5.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 5.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 5.1.3.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 5.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 + 0$

चरण 5.1.4.2

$4$ और $0$ जोड़ें.

$4$

चरण 5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

चरण 6.2

$4$ को $\sqrt{u}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u) + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

चरण 8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$\frac{1}{4}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

चरण 8.1.2

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

चरण 8.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

चरण 8.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

चरण 8.1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

चरण 8.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

चरण 8.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

चरण 8.2.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

चरण 8.2.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

चरण 8.2.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

चरण 10

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{4}{x^{5}} d x$

चरण 11

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - (4 \int \frac{1}{x^{5}} d x)$

चरण 12

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

चरण 12.2

$x^{5}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

चरण 12.3

घातांक को ${(x^{5})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

चरण 12.3.2

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int x^{- 5} d x$

चरण 13

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- 5}$ का समाकलन $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ है.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.1

$x^{- 4}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

चरण 14.1.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- 4}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

चरण 14.2

सरल करें.

$u^{\frac{1}{2}} - 4 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

चरण 14.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$u^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

चरण 14.3.2

$4$ और $\frac{1}{4 x^{4}}$ को मिलाएं.

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{4 x^{4}} + C$

चरण 14.3.3

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{4 x^{4}} + C$

चरण 14.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$

चरण 15

$u$ की सभी घटनाओं को $4 x + 3$ से बदलें.

${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$

चरण 16

उत्तर फलन $f (x) = \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$