कैलकुलस उदाहरण

$e^{- x} (x^{2} + 2 x)$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = e^{- x}$ और $g (x) = x^{2} + 2 x$ है.

$e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x] + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ है.

$e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{- x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{- x} (2 x + 2 \cdot 1) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.2

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

चरण 4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} \cdot - 1$

चरण 4.3.2

$- 1$ को $(x^{2} + 2 x) e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$e^{- x} (2 x + 2) - 1 \cdot ((x^{2} + 2 x) e^{- x})$

चरण 4.3.3

$- 1 (x^{2} + 2 x)$ को $- (x^{2} + 2 x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{- x} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x)) e^{- x}$

चरण 5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

चरण 5.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$2$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$e^{- x} (2 x) + 2 \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

चरण 5.4.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- x} (2 x) + 2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x}$

चरण 5.4.3

$e^{- x} (2 x)$ में से $2 x e^{- x}$ घटाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1

$e^{- x}$ ले जाएं.

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x}$

चरण 5.4.3.2

$2 x e^{- x}$ में से $2 x e^{- x}$ घटाएं.

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 0$

चरण 5.4.4

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$ और $0$ जोड़ें.

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$

चरण 5.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$

चरण 5.6

गुणनखंडों को $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$ में पुन: क्रमित करें.

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$