कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x^{4}} + 5 x^{3} - \frac{8}{\sqrt{x}} - 1$

चरण 1

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int 2 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x^{4}} + 5 x^{3} - \frac{8}{\sqrt{x}} - 1 d x$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int 2 \sqrt[3]{x} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

चरण 4

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \sqrt[3]{x} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

चरण 5

$\sqrt[3]{x}$ को $x^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$2 \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{\frac{1}{3}}$ का समाकलन $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ है.

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

चरण 7

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - \int \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

चरण 8

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

चरण 9

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$\frac{3}{4}$ और $x^{\frac{4}{3}}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

चरण 9.1.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

चरण 9.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$x^{4}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

चरण 9.2.2

घातांक को ${(x^{4})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

चरण 9.2.2.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int x^{- 4} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- 4}$ का समाकलन $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ है.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$x^{- 3}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

चरण 11.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- 3}$ को भाजक में ले जाएँ.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

चरण 12

चूँकि $5$ बटे $x$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 \int x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

चरण 13

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} x^{4}$ है.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

चरण 14

$\frac{1}{4}$ और $x^{4}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

चरण 15

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

चरण 16

चूँकि $8$ बटे $x$ अचर है, $8$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (8 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x) + \int - 1 d x$

चरण 17

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

चरण 17.2

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - 1 d x$

चरण 17.3

$x^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - 1 d x$

चरण 17.4

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.4.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - 1 d x$

चरण 17.4.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - 1 d x$

चरण 17.4.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - 1 d x$

चरण 18

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 x^{\frac{1}{2}}$ है.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int - 1 d x$

चरण 19

स्थिरांक नियम लागू करें.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - x + C$

चरण 20

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1

सरल करें.

$\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{5 x^{4}}{4} - 16 x^{\frac{1}{2}} - x + C$

चरण 20.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{5}{4} x^{4} - 16 x^{\frac{1}{2}} - x + C$

चरण 21

उत्तर फलन $f (x) = 2 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x^{4}} + 5 x^{3} - \frac{8}{\sqrt{x}} - 1$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{5}{4} x^{4} - 16 x^{\frac{1}{2}} - x + C$