कैलकुलस उदाहरण

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{2} {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$

चरण 1

एक अनंत ज्यामितीय शृंखला का योग सूत्र $\frac{a}{1 - r}$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है जहां $a$ पहला पद है और $r$ क्रमिक पदों के बीच का अनुपात है.

चरण 2

सूत्र $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ में प्लग इन करके और सरलीकरण करके क्रमागत पदों का अनुपात ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$a_{i}$ और $a_{i + 1}$ को $r$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$r = \frac{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\frac{1}{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \frac{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

चरण 2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

चरण 2.2.2

${(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}$ और ${(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

${(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}$ में से ${(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

चरण 2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

$1$ से गुणा करें.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

चरण 2.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

चरण 2.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

चरण 2.2.2.2.4

${(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$ को $1$ से विभाजित करें.

$r = {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$

चरण 2.2.3

$i$ और $0$ जोड़ें.

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - (i - 1)}$

चरण 2.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - i - - 1}$

चरण 2.2.4.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - i + 1}$

चरण 2.2.5

$i$ में से $i$ घटाएं.

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

चरण 2.2.6

$0$ और $1$ जोड़ें.

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

चरण 2.2.7

सरल करें.

$r = \frac{1}{3}$

चरण 3

$| r | < 1$ के बाद से, शृंखला मिल जाती है.

चरण 4

निम्न परिबंध में प्रतिस्थापित करके और सरलीकरण करके शृंखला का पहला पद ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$i$ के स्थान पर $\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ में $1$ प्रतिस्थापित करें.

$a = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

चरण 4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$a = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{0}$

चरण 4.2.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{3}$ पर लागू करें.

$a = \frac{1}{2} \cdot \frac{1^{0}}{3^{0}}$

चरण 4.2.3

जोड़ना.

$a = \frac{1 \cdot 1^{0}}{2 \cdot 3^{0}}$

चरण 4.2.4

घातांक जोड़कर $1$ को $1^{0}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

$1$ को $1^{0}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1.1

$1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$a = \frac{1^{1} \cdot 1^{0}}{2 \cdot 3^{0}}$

चरण 4.2.4.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$a = \frac{1^{1 + 0}}{2 \cdot 3^{0}}$

चरण 4.2.4.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$a = \frac{1^{1}}{2 \cdot 3^{0}}$

चरण 4.2.5

$1^{1}$ को सरल करें.

$a = \frac{1}{2 \cdot 3^{0}}$

चरण 4.2.6

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$a = \frac{1}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.7

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$a = \frac{1}{2}$

चरण 5

योग सूत्र में अनुपात और प्रथम पद के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{3}}$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

चरण 6.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

चरण 6.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

चरण 6.2.3

$3$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

चरण 6.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{1}{2} (1 (\frac{3}{2}))$

चरण 6.4

$\frac{3}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

चरण 6.5

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{3}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{3}{2 \cdot 2}$

चरण 6.5.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{3}{4}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{3}{4}$

दशमलव रूप:

$0.75$