कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - x^{- 2}}{x - x^{- 1}}$

चरण 1

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

सीमा तर्क को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

ऋणात्मक घातांक को भिन्नों में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x - x^{- 1}}$

चरण 1.1.1.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

चरण 1.1.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

$x^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

चरण 1.1.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

चरण 1.1.2.3

$x$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{\frac{x \cdot x}{x} - \frac{1}{x}}$

चरण 1.1.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{\frac{x \cdot x - 1}{x}}$

चरण 1.2

सीमा तर्क को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

चरण 1.2.2

गुणनखंडों को जोड़े.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2 + 2} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

चरण 1.2.2.1.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

चरण 1.2.2.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1} x - 1}$

चरण 1.2.2.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1} x^{1} - 1}$

चरण 1.2.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1 + 1} - 1}$

चरण 1.2.2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{2} - 1}$

चरण 1.2.2.6

$\frac{x^{4} - 1}{x^{2}}$ को $\frac{x}{x^{2} - 1}$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{4} - 1) x}{x^{2} (x^{2} - 1)}$

चरण 1.2.3

$x$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$(x^{4} - 1) x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x^{2} (x^{2} - 1)}$

चरण 1.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$x^{2} (x^{2} - 1)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x (x (x^{2} - 1))}$

चरण 1.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x (x (x^{2} - 1))}$

चरण 1.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x (x^{2} - 1)}$

चरण 2

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

चरण 2.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

जैसे-जैसे $x$ $1$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

चरण 2.1.2.1.2

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $4$ को $x^{4}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

चरण 2.1.2.1.3

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $1$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

चरण 2.1.2.2

$x$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1^{4} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

चरण 2.1.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

चरण 2.1.2.3.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

चरण 2.1.2.3.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

चरण 2.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

जैसे ही $x$ $1$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

चरण 2.1.3.2

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot (lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1)}$

चरण 2.1.3.3

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $x^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1)}$

चरण 2.1.3.4

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $1$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

चरण 2.1.3.5

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.5.1

$x$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{1 \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

चरण 2.1.3.5.2

$x$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{1 \cdot (1^{2} - 1 \cdot 1)}$

चरण 2.1.3.6

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.6.1

$1^{2} - 1 \cdot 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

चरण 2.1.3.6.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.6.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

चरण 2.1.3.6.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{0}{1 - 1}$

चरण 2.1.3.6.3

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{0}{0}$

चरण 2.1.3.6.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 2.1.3.7

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 2.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 2.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x (x^{2} - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

चरण 2.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

चरण 2.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

चरण 2.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

चरण 2.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

चरण 2.3.5

$4 x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

चरण 2.3.6

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x^{2} - 1$ है.

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.9

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.10

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.11

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 (x^{1} x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.12

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.13

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.14

$1$ और $1$ जोड़ें.

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.15

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + (x^{2} - 1) \cdot 1}$

चरण 2.3.16

$x^{2} - 1$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + x^{2} - 1}$

चरण 2.3.17

$2 x^{2}$ और $x^{2}$ जोड़ें.

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{3 x^{2} - 1}$

चरण 3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$4$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$4 lim_{x \to 1} \frac{x^{3}}{3 x^{2} - 1}$

चरण 3.2

जैसे ही $x$ $1$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$4 \frac{lim_{x \to 1} x^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 1}$

चरण 3.3

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $3$ को $x^{3}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 1}$

चरण 3.4

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

चरण 3.5

$3$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

चरण 3.6

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $x^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

चरण 3.7

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $1$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

चरण 4

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$4 \frac{1^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

चरण 4.2

$x$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$4 \frac{1^{3}}{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

चरण 5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$4 \frac{1}{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

चरण 5.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$4 \frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

चरण 5.2.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$4 \frac{1}{3 - 1 \cdot 1}$

चरण 5.2.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$4 \frac{1}{3 - 1}$

चरण 5.2.4

$3$ में से $1$ घटाएं.

$4 (\frac{1}{2})$

चरण 5.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2) \frac{1}{2}$

चरण 5.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

चरण 5.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2$