कैलकुलस उदाहरण

$x^{2} y - \frac{x}{y} = - 2$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (- 2)$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} y - \frac{x}{y}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

चरण 2.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

चरण 2.2.4

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = - 1$ और $g (x) = \frac{x}{y}$ है.

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y$ है.

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

चरण 2.3.6

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

चरण 2.3.7

$\frac{x}{y}$ को $0$ से गुणा करें.

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

चरण 2.3.8

$- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ और $0$ जोड़ें.

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1.1

$x^{2} y'$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ से गुणा करें.

$2 y x + \frac{x^{2} y' y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

चरण 2.4.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 y x + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$

चरण 2.4.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$

चरण 3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}} = 0$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y - (- x y')}{y^{2}} = 0$

चरण 5.1.1.2

$- (- x y')$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + 1 (x y')}{y^{2}} = 0$

चरण 5.1.1.2.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

चरण 5.1.2

$2 x y$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 x y \cdot y^{2}}{y^{2}} + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

चरण 5.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 x y \cdot y^{2} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

चरण 5.1.4

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

$y^{2}$ ले जाएं.

$\frac{2 x (y^{2} y) + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

चरण 5.1.4.2

$y^{2}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 x (y^{2} y^{1}) + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

चरण 5.1.4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 x y^{2 + 1} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

चरण 5.1.4.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2 x y^{3} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

चरण 5.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 x y^{3} + x^{2} y' y^{2} - y + x y' = 0$

चरण 5.3

$y'$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x y^{3}$ घटाएं.

$x^{2} y' y^{2} - y + x y' = - 2 x y^{3}$

चरण 5.3.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $y$ जोड़ें.

$x^{2} y' y^{2} + x y' = - 2 x y^{3} + y$

चरण 5.3.2

$x^{2} y' y^{2} + x y'$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$x^{2} y' y^{2}$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

$x y' (x y^{2}) + x y' = - 2 x y^{3} + y$

चरण 5.3.2.2

$x y'$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

$x y' (x y^{2}) + x y' \cdot 1 = - 2 x y^{3} + y$

चरण 5.3.2.3

$x y' (x y^{2}) + x y' \cdot 1$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

$x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$

चरण 5.3.3

$x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$ के प्रत्येक पद को $x (x y^{2} + 1)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$ के प्रत्येक पद को $x (x y^{2} + 1)$ से विभाजित करें.

$\frac{x y' (x y^{2} + 1)}{x (x y^{2} + 1)} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

चरण 5.3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x y' (x y^{2} + 1)}{x (x y^{2} + 1)} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

चरण 5.3.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (x y^{2} + 1)}{x y^{2} + 1} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

चरण 5.3.3.2.2

$x y^{2} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (x y^{2} + 1)}{x y^{2} + 1} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

चरण 5.3.3.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

चरण 5.3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.3.1.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

चरण 5.3.3.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{x y^{2} + 1} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

चरण 5.3.3.3.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

चरण 5.3.3.3.2

$- \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

चरण 5.3.3.3.3

प्रत्येक व्यंजक को $(x y^{2} + 1) x$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.3.3.1

$\frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1}$ को $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$y' = - \frac{2 y^{3} x}{(x y^{2} + 1) x} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

चरण 5.3.3.3.3.2

$(x y^{2} + 1) x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$y' = - \frac{2 y^{3} x}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

चरण 5.3.3.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{- 2 y^{3} x + y}{x (x y^{2} + 1)}$

चरण 5.3.3.3.5

$- 2 y^{3} x + y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.3.5.1

$- 2 y^{3} x$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y}{x (x y^{2} + 1)}$

चरण 5.3.3.3.5.2

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y^{1}}{x (x y^{2} + 1)}$

चरण 5.3.3.3.5.3

$y^{1}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y \cdot 1}{x (x y^{2} + 1)}$

चरण 5.3.3.3.5.4

$y (- 2 y^{2} x) + y \cdot 1$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x + 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

चरण 5.3.3.3.6

$- 2 y^{2} x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x) + 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

चरण 5.3.3.3.7

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x) - 1 (- 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

चरण 5.3.3.3.8

$- (2 y^{2} x) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x - 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

चरण 5.3.3.3.9

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.3.9.1

$- (2 y^{2} x - 1)$ को $- 1 (2 y^{2} x - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{y (- 1 (2 y^{2} x - 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

चरण 5.3.3.3.9.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{y (2 y^{2} x - 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 y^{2} x - 1)}{x (x y^{2} + 1)}$