कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = x \sqrt{4 - x^{2}}$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = x \sqrt{4 - x^{2}} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int x \sqrt{4 - x^{2}} d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int x \sqrt{4 - x^{2}} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

मान लीजिए $u = 4 - x^{2}$ .फिर $d u = - 2 x d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

मान लें $u = 4 - x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$4 - x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

चरण 2.3.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.3.1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 - (2 x)$

चरण 2.3.1.1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 2 x$

चरण 2.3.1.1.4

$0$ में से $2 x$ घटाएं.

$- 2 x$

चरण 2.3.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 2.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 2.3.2.2

$\sqrt{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

चरण 2.3.3

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

चरण 2.3.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

चरण 2.3.5

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 2.3.6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

चरण 2.3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ को $- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.1

$\frac{2}{3}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = - \frac{2}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = - \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.3

$2$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.3.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = - \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.3.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.8

$u$ की सभी घटनाओं को $4 - x^{2}$ से बदलें.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = - \frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + K$