कैलकुलस उदाहरण

$e^{2 x} d y + (2 e^{2 x} y - x) d x = 0$

चरण 1

सटीक डिफरेन्शल इक्वेश़न तकनीक को फिट करने के लिए डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

फिर से लिखें.

$(2 e^{2 x} y - x) d x + e^{2 x} d y = 0$

चरण 2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 2 e^{2 x} y - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y - x]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 e^{2 x} y - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y] + \frac{d}{d y} [- x]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y] + \frac{d}{d y} [- x]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $2 e^{2 x}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 e^{2 x} y$ का व्युत्पन्न $2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

चरण 2.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} + \frac{d}{d y} [- x]$

चरण 2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $y$ के संबंध में $- x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} + 0$

चरण 2.4.2

$2 e^{2 x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x}$

चरण 3

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = e^{2 x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 \cdot 1)$

चरण 3.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \cdot 2$

चरण 3.3.3.2

$2$ को $e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x}$

चरण 4

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $2 e^{2 x}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2 e^{2 x}$ प्रतिस्थापित करें.

$2 e^{2 x} = 2 e^{2 x}$

चरण 4.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$2 e^{2 x} = 2 e^{2 x}$ एक सर्वसमिका है.

चरण 5

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int e^{2 x} d y$

चरण 6

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = e^{2 x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = e^{2 x} y + C$

चरण 7

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = e^{2 x} y + g (x)$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 e^{2 x} y - x$

चरण 9

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y + g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

चरण 9.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{2 x} y + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

चरण 9.3

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $e^{2 x} y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ है.

$y \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

चरण 9.3.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

चरण 9.3.2.2

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

चरण 9.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$y (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

चरण 9.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$y (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

चरण 9.3.4

$y (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

चरण 9.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

चरण 9.3.6

$2$ को $e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

चरण 9.3.7

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 y e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

चरण 9.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$2 y e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 e^{2 x} y - x$

चरण 9.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} y - x$

चरण 9.5.2

गुणनखंडों को $\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} y$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 e^{2 x} y - x$

चरण 10

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

गुणनखंडों को $2 e^{2 x} y - x$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x} - x$

चरण 10.1.2

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y e^{2 x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} - x - 2 y e^{2 x}$

चरण 10.1.2.2

$2 y e^{2 x} - x - 2 y e^{2 x}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.2.2.1

$2 y e^{2 x}$ में से $2 y e^{2 x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = - x + 0$

चरण 10.1.2.2.2

$- x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = - x$

चरण 11

$g (x)$ को खोजने के लिए $- x$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{d g}{d x} = - x$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x d x$

चरण 11.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int - x d x$

चरण 11.3

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = - \int x d x$

चरण 11.4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 11.5

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ को $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 12

$f (x, y) = e^{2 x} y + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 13

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{1}{2} x^{2} + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$x^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{x^{2}}{2} + C$

चरण 13.2

गुणनखंडों को $f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{x^{2}}{2} + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = y e^{2 x} - \frac{x^{2}}{2} + C$