कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2 y$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 y$ जोड़ें.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 2 x$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int 2 d x}$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{2 x + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{2 x}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{2 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $e^{2 x}$ से गुणा करें.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (2 x)$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 x)$

चरण 3.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} x$

चरण 3.4

गुणनखंडों को $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} x$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 x e^{2 x}$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 2 x e^{2 x}$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 2 x e^{2 x} d x$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{2 x} y = \int 2 x e^{2 x} d x$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 x} y = 2 \int x e^{2 x} d x$

चरण 7.2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{2 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{2 x} y = 2 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

चरण 7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$e^{2 x} y = 2 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

चरण 7.3.2

$x$ और $\frac{e^{2 x}}{2}$ को मिलाएं.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

चरण 7.3.3

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

चरण 7.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

चरण 7.5

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 7.5.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7.5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 7.5.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 7.5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

चरण 7.6

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

चरण 7.7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

चरण 7.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.8.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

चरण 7.8.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

चरण 7.9

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

चरण 7.10

$2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ को $2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

चरण 7.11

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

चरण 7.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.12.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.12.1.1

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

चरण 7.12.1.2

$\frac{x}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

चरण 7.12.1.3

$e^{2 x}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

चरण 7.12.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{2 x} y = 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

चरण 7.12.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.12.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{2 x} y = 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

चरण 7.12.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

चरण 7.12.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.12.4.1

$- \frac{e^{2 x}}{4}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

चरण 7.12.4.2

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{2 (2)} + C$

चरण 7.12.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2} + C$

चरण 7.12.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + \frac{- e^{2 x}}{2} + C$

चरण 7.12.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

चरण 7.12.6

$x e^{2 x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

चरण 7.12.7

$x e^{2 x}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

चरण 7.12.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C$

चरण 7.12.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.12.9.1

$2$ को $x e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$e^{2 x} y = \frac{2 \cdot (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C$

चरण 7.12.9.2

$2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ में से $e^{2 x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.12.9.2.1

$2 x e^{2 x}$ में से $e^{2 x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C$

चरण 7.12.9.2.2

$- e^{2 x}$ में से $e^{2 x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C$

चरण 7.12.9.2.3

$e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ में से $e^{2 x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C$

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1) + C$

चरण 8

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C$ के प्रत्येक पद को $e^{2 x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C$ के प्रत्येक पद को $e^{2 x}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$e^{2 x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1) + C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1) + C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.2.3

$- 1$ को $e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.2.4

$- 1 e^{2 x}$ को $- e^{2 x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.2.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 e^{2 x} x) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.2.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.6.1

$2 e^{2 x} x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{2 x} x)) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{2 x} x)) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.2.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{e^{2 x} x + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.2.7

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$y = \frac{e^{2 x} x - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.2.8

एक सामान्य भाजक का उपयोग करके $e^{2 x} x$ और $- \frac{e^{2 x}}{2}$ को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.8.1

$e^{2 x}$ और $x$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \frac{x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.2.8.2

$x e^{2 x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.2.8.3

$x e^{2 x}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.2.8.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.2.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.9.1

$2$ को $x e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{\frac{2 \cdot (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.2.9.2

$2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ में से $e^{2 x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.9.2.1

$2 x e^{2 x}$ में से $e^{2 x}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.2.9.2.2

$- e^{2 x}$ में से $e^{2 x}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.2.9.2.3

$e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ में से $e^{2 x}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.3

$C$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.4.1

$C$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.4.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.5.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.5.3

$- 1$ को $e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.5.4

$- 1 e^{2 x}$ को $- e^{2 x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.5.5

$2$ को $C$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.6

गुणनखंडों को $\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + 2 C}{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$y = \frac{\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.7

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.8

$\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2}$ को $\frac{1}{e^{2 x}}$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2 e^{2 x}}$