कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d t} = t^{2} - y$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों में $y$ जोड़ें.

$\frac{d y}{d t} + y = t^{2}$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (t) d t}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (t) = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int d t}$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{t + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{t}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $e^{t}$ से गुणा करें.

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$

चरण 3.2

गुणनखंडों को $e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = t^{2} e^{t}$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = t^{2} e^{t}$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int t^{2} e^{t} d t$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{t} y = \int t^{2} e^{t} d t$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = t^{2}$ और $d v = e^{t}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - \int e^{t} (2 t) d t$

चरण 7.2

चूँकि $2$ बटे $t$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - (2 \int e^{t} (t) d t)$

चरण 7.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 \int e^{t} (t) d t$

चरण 7.4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = t$ और $d v = e^{t}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - \int e^{t} d t)$

चरण 7.5

$t$ के संबंध में $e^{t}$ का इंटीग्रल $e^{t}$ है.

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$

चरण 7.6

$t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$ को $t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$

चरण 8

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{t}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{t}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$e^{t}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

चरण 8.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

$e^{t}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

चरण 8.3.1.1.2

$t^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

चरण 8.3.1.2

$e^{t}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

चरण 8.3.1.2.2

$- 2 t$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

चरण 8.3.1.3

$e^{t}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

चरण 8.3.1.3.2

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = t^{2} - 2 t + 2 + \frac{C}{e^{t}}$