कैलकुलस उदाहरण

$2 \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\frac{y}{x}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x$

चरण 1.2

$y$ और $\frac{1}{x}$ को पुन: क्रमित करें.

$2 \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x$

चरण 1.3

$2 \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{\frac{1}{x} y}{2} = \frac{x}{2}$

चरण 1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{\frac{1}{x} y}{2} = \frac{x}{2}$

चरण 1.4.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{1}{x} y}{2} = \frac{x}{2}$

चरण 1.5

$\frac{1}{x}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{y}{x}}{2} = \frac{x}{2}$

चरण 1.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{2} x$

चरण 1.7

$\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} + y (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}) = \frac{1}{2} x$

चरण 1.8

$y$ और $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} d x}$

चरण 2.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

चरण 2.2.2

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

चरण 2.2.3

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

चरण 2.2.4

सरल करें.

$e^{\frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{\frac{1}{2} \ln (x)}$

चरण 2.4

लघुगणक घात नियम का प्रयोग करें.

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})}$

चरण 2.5

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$x^{\frac{1}{2}}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $x^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $x^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} y) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

चरण 3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x} y) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

चरण 3.2.2

$\frac{1}{2}$ और $x^{\frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{1}{x} y) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

चरण 3.2.3

$\frac{1}{x}$ और $y$ को मिलाएं.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{y}{x} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

चरण 3.2.4

जोड़ना.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} y}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

चरण 3.2.5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके $x^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

चरण 3.2.6

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x)} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

चरण 3.2.6.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

चरण 3.2.6.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{- \frac{1}{2} + 1}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

चरण 3.2.6.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

चरण 3.2.6.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

चरण 3.2.6.5

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

चरण 3.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} x$

चरण 3.4

घातांक जोड़कर $x^{\frac{1}{2}}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$x$ ले जाएं.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

चरण 3.4.2

$x$ को $x^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

चरण 3.4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{1 + \frac{1}{2}}$

चरण 3.4.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

चरण 3.4.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{2 + 1}{2}}$

चरण 3.4.5

$2$ और $1$ जोड़ें.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{3}{2}}$

चरण 3.5

$\frac{1}{2}$ और $x^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2}$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} y] = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2}$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} y] d x = \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} d x$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$x^{\frac{1}{2}} y = \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} d x$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

चरण 7.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ है.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

चरण 7.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ को $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

चरण 7.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{2}{5}$ से गुणा करें.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

चरण 7.3.2.2

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2}{10} x^{\frac{5}{2}} + C$

चरण 7.3.2.3

$2$ और $10$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.3.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2 (1)}{10} x^{\frac{5}{2}} + C$

चरण 7.3.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.3.2.1

$10$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

चरण 7.3.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

चरण 7.3.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

चरण 8

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ के प्रत्येक पद को $x^{\frac{1}{2}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ के प्रत्येक पद को $x^{\frac{1}{2}}$ से विभाजित करें.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $x^{\frac{1}{2}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.3.1.2

घातांक जोड़कर $x^{\frac{5}{2}}$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.2.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$y = \frac{1}{5} (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}}) + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.3.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{2} + \frac{5}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.3.1.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 + 5}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.3.1.2.4

$- 1$ और $5$ जोड़ें.

$y = \frac{1}{5} x^{\frac{4}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.3.1.2.5

$4$ को $2$ से विभाजित करें.

$y = \frac{1}{5} x^{2} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.3.1.3

$\frac{1}{5}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$