कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \sin (2 x + π)$ , $y (0) = 6$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = \sin (2 x + π) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int \sin (2 x + π) d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int \sin (2 x + π) d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

मान लीजिए $u = 2 x + π$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

मान लें $u = 2 x + π$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$2 x + π$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x + π]$

चरण 2.3.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + π$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [π]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [π]$

चरण 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π]$

चरण 2.3.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π]$

चरण 2.3.1.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [π]$

चरण 2.3.1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $π$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $π$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 2.3.1.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 2.3.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

चरण 2.3.2

$\sin (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

चरण 2.3.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

चरण 2.3.4

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u) + C_{2})$

चरण 2.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

सरल करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C_{2}$

चरण 2.3.5.2

$\frac{1}{2}$ और $\cos (u)$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{2} + C_{2}$

चरण 2.3.6

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + π$ से बदलें.

$y + C_{1} = - \frac{\cos (2 x + π)}{2} + C_{2}$

चरण 2.3.7

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + K$

चरण 3

$x$ के लिए $0$ और $y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + K$ में $y$ के लिए $6$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$6 = - \frac{1}{2} \cos (2 \cdot 0 + π) + K$

चरण 4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot 0 + π) + K = 6$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot 0 + π) + K = 6$

चरण 4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} \cdot \cos (0 + π) + K = 6$

चरण 4.2.1.2

$0$ और $π$ जोड़ें.

$- \frac{1}{2} \cdot \cos (π) + K = 6$

चरण 4.2.1.3

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$- \frac{1}{2} \cdot (- \cos (0)) + K = 6$

चरण 4.2.1.4

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$- \frac{1}{2} \cdot (- 1 \cdot 1) + K = 6$

चरण 4.2.1.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} \cdot - 1 + K = 6$

चरण 4.2.1.6

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.6.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (\frac{1}{2}) + K = 6$

चरण 4.2.1.6.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} + K = 6$

चरण 4.3

$K$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{1}{2}$ घटाएं.

$K = 6 - \frac{1}{2}$

चरण 4.3.2

$6$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$K = 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 4.3.3

$6$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$K = \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 4.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$K = \frac{6 \cdot 2 - 1}{2}$

चरण 4.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$K = \frac{12 - 1}{2}$

चरण 4.3.5.2

$12$ में से $1$ घटाएं.

$K = \frac{11}{2}$

चरण 5

$\frac{11}{2}$ को $y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + K$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{11}{2}$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + \frac{11}{2}$

चरण 5.2

$\cos (2 x + π)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$y = - \frac{\cos (2 x + π)}{2} + \frac{11}{2}$