कैलकुलस उदाहरण

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

चरण 1

मान लें $v = \frac{d y}{d x}$ . फिर $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . आश्रित चर $v$ और स्वतंत्र चर $x$ के साथ डिफरेन्शल इक्वेश़न प्राप्त करने के लिए $\frac{d y}{d x}$ के लिए $v$ और $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ के लिए $\frac{d v}{d x}$ को प्रतिस्थापित करें.

$x \frac{d v}{d x} + v = 0$

चरण 2

जाँच करें कि क्या समीकरण का बायाँ पक्ष $x v$ पद के व्युत्पन्न का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = v$ है.

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [v]$ को $v'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x v' + v \cdot 1$

चरण 2.4

$\frac{d v}{d x}$ को $v'$ से प्रतिस्थापित करें.

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

चरण 2.5

$v$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

चरण 2.6

$v$ को $1$ से गुणा करें.

$x \frac{d v}{d x} + v$

चरण 3

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x v] = 0$

चरण 4

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 0 d x$

चरण 5

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$x v = \int 0 d x$

चरण 6

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x$ के संबंध में $0$ का इंटीग्रल $0$ है.

$x v = 0 + C_{1}$

चरण 6.2

$0$ और $C_{1}$ जोड़ें.

$x v = C_{1}$

चरण 7

$x v = C_{1}$ के प्रत्येक पद को $x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$x v = C_{1}$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

चरण 7.2.1.2

$v$ को $1$ से विभाजित करें.

$v = \frac{C_{1}}{x}$

चरण 8

$v$ की सभी घटनाओं को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{1}}{x}$

चरण 9

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = \frac{C_{1}}{x} d x$

चरण 10

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

चरण 10.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{2} = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

चरण 10.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

चूँकि $C_{1}$ बटे $x$ अचर है, $C_{1}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{2} = C_{1} \int \frac{1}{x} d x$

चरण 10.3.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$y + C_{2} = C_{1} (\ln (| x |) + C_{3})$

चरण 10.3.3

सरल करें.

$y + C_{2} = C_{1} \ln (| x |) + C_{4}$

चरण 10.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $D$ के रूप में समूहित करें.

$y = C \ln (| x |) + D$