कैलकुलस उदाहरण

$(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ , $y (0) = 1$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ के प्रत्येक पद को $1 + \sin^{2} (x)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ के प्रत्येक पद को $1 + \sin^{2} (x)$ से विभाजित करें.

$\frac{(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \sin^{2} (x)} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

चरण 1.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

$1 + \sin^{2} (x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \sin^{2} (x)} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

चरण 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

चरण 1.2

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $\frac{1}{e^{- 2 y}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)})$

चरण 1.4

$e^{- 2 y}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)})$

चरण 1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$e^{- 2 y}$ के घातांक को नकारें और भाजक से बाहर निकालें.

$\int 1 {(e^{- 2 y})}^{- 1} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

चरण 2.2.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1

घातांक को ${(e^{- 2 y})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- 2 y \cdot - 1} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

चरण 2.2.1.2.1.2

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\int 1 e^{2 y} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

चरण 2.2.1.2.2

$e^{2 y}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int e^{2 y} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

चरण 2.2.2

मान लीजिए $u_{1} = 2 y$ .फिर $d u_{1} = 2 d y$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

मान लें $u_{1} = 2 y$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$2 y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [2 y]$

चरण 2.2.2.1.2

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$2 \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.2.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 2.2.2.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 2.2.2.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

चरण 2.2.3

$e^{u_{1}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

चरण 2.2.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

चरण 2.2.5

$u_{1}$ के संबंध में $e^{u_{1}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

चरण 2.2.6

सरल करें.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

चरण 2.2.7

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 y$ से बदलें.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

मान लीजिए $u_{3} = 1 + \sin^{2} (x)$ .फिर $d u_{3} = \sin (2 x) d x$ , तो $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{3} = d x$ . $u_{3}$ और $d$ $u_{3}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

मान लें $u_{3} = 1 + \sin^{2} (x)$ . $\frac{d u_{3}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$1 + \sin^{2} (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

चरण 2.3.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + \sin^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

चरण 2.3.1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

चरण 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$0 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 2.3.1.1.3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 2.3.1.1.3.1.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$0 + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 2.3.1.1.3.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$0 + 2 \sin (x) \cos (x)$

चरण 2.3.1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.4.1

$0$ और $2 \sin (x) \cos (x)$ जोड़ें.

$2 \sin (x) \cos (x)$

चरण 2.3.1.1.4.2

$2 \sin (x) \cos (x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$2 \cos (x) \sin (x)$

चरण 2.3.1.1.4.3

$2 \cos (x)$ और $\sin (x)$ को पुन: क्रमित करें.

$\sin (x) (2 \cos (x))$

चरण 2.3.1.1.4.4

$\sin (x)$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

चरण 2.3.1.1.4.5

ज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$\sin (2 x)$

चरण 2.3.1.2

$u_{3}$ और $d u_{3}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

चरण 2.3.2

$u_{3}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{3}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{3} |)$ है.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \ln (| u_{3} |) + C_{2}$

चरण 2.3.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $1 + \sin^{2} (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} e^{2 y} = \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 y}$ को मिलाएं.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

चरण 3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{2 y} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{2 y} = 2 \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + 2 C$

चरण 3.3

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

चरण 3.4

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$2 y$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{2 y})$ का प्रसार करें.

$2 y \ln (e) = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

चरण 3.4.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$2 y \cdot 1 = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

चरण 3.4.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 y = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

चरण 3.5

$2$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2})$ का प्रसार करें.

$2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$

चरण 3.6

$2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

चरण 3.6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

चरण 3.6.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$

चरण 5

$x$ के लिए $0$ और $y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$ में $y$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$1 = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2}$

चरण 6

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 1$

चरण 6.2

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 2 \cdot 1$

चरण 6.3

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 2 \cdot 1$

चरण 6.3.1.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C) = 2 \cdot 1$

चरण 6.3.1.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.2.1.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\ln (2 \ln (1 + 0^{2}) + C) = 2 \cdot 1$

चरण 6.3.1.1.2.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\ln (2 \ln (1 + 0) + C) = 2 \cdot 1$

चरण 6.3.1.1.2.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\ln (2 \ln (1) + C) = 2 \cdot 1$

चरण 6.3.1.1.2.3

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$\ln (2 \cdot 0 + C) = 2 \cdot 1$

चरण 6.3.1.1.2.4

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$\ln (0 + C) = 2 \cdot 1$

चरण 6.3.1.1.3

$0$ और $C$ जोड़ें.

$\ln (C) = 2 \cdot 1$

चरण 6.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (C) = 2$

चरण 6.4

$C$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (C)} = e^{2}$

चरण 6.5

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (C) = 2$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{2} = C$

चरण 6.6

समीकरण को $C = e^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$C = e^{2}$

चरण 7

$e^{2}$ को $y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$e^{2}$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}{2}$

चरण 7.2

$\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}{2}$ को $\frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$

चरण 7.3

$\frac{1}{2}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$ को सरल करें.

$y = \ln ({(2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.4

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (1 + \sin^{2} (x))$ को सरल करें.

$y = \ln ({(\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + e^{2})}^{\frac{1}{2}})$