कैलकुलस उदाहरण

$y (3 + 2 x y^{2}) d x + 3 (x^{2} y^{2} + x - 1) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = y (3 + 2 x y^{2})$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (3 + 2 x y^{2})]$

चरण 1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ है, जहाँ $f (y) = y$ और $g (y) = 3 + 2 x y^{2}$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [3 + 2 x y^{2}] + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $3 + 2 x y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.2

चूंकि $y$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.3

$0$ और $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.4

चूंकि $2 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x y^{2}$ का व्युत्पन्न $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x (2 y)) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.6

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.4

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.5

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y^{1}) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{1 + 1} + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (3 + 2 x y^{2}) \cdot 1$

चरण 1.9

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.9.1

$3 + 2 x y^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + 3 + 2 x y^{2}$

चरण 1.9.2

$4 x y^{2}$ और $2 x y^{2}$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + 3$

चरण 1.9.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x + 3$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 (x^{2} y^{2} + x - 1)]$

चरण 2.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x - 1]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x - 1]$

चरण 2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} y^{2} + x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.4

चूंकि $y^{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x^{2} y^{2}$ का व्युत्पन्न $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.6

$2$ को $y^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 \cdot y^{2} x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.8

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1 + 0)$

चरण 2.9

$2 y^{2} x + 1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1)$

चरण 2.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x) + 3 \cdot 1$

चरण 2.10.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.10.2.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 (y^{2} x) + 3 \cdot 1$

चरण 2.10.2.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + 3$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $6 y^{2} x + 3$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $6 y^{2} x + 3$ प्रतिस्थापित करें.

$6 y^{2} x + 3 = 6 y^{2} x + 3$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$6 y^{2} x + 3 = 6 y^{2} x + 3$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int y (3 + 2 x y^{2}) d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = y (3 + 2 x y^{2})$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $y$ बटे $x$ अचर है, $y$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = y \int 3 + 2 x y^{2} d x$

चरण 5.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = y (\int 3 d x + \int 2 x y^{2} d x)$

चरण 5.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = y (3 x + C + \int 2 x y^{2} d x)$

चरण 5.4

चूँकि $2 y^{2}$ बटे $x$ अचर है, $2 y^{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = y (3 x + C + 2 y^{2} \int x d x)$

चरण 5.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = y (3 x + C + 2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

चरण 5.6

सरल करें.

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ है, जहाँ $f (y) = y$ और $g (y) = 3 x + y^{2} x^{2}$ है.

$y \frac{d}{d y} [3 x + y^{2} x^{2}] + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

चरण 8.3.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $3 x + y^{2} x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]$ है.

$y (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

चरण 8.3.3

चूंकि $y$ के संबंध में $3 x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$y (0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

चरण 8.3.4

चूंकि $x^{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y^{2} x^{2}$ का व्युत्पन्न $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$y (0 + x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

चरण 8.3.5

$y (0 + x^{2} (2 y)) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

चरण 8.3.6

$y (0 + x^{2} (2 y)) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

चरण 8.3.7

$2$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y (0 + 2 \cdot x^{2} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

चरण 8.3.8

$0$ और $2 x^{2} y$ जोड़ें.

$y (2 x^{2} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

चरण 8.3.9

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 x^{2} (y^{1} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

चरण 8.3.10

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 x^{2} (y^{1} y^{1}) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

चरण 8.3.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 x^{2} y^{1 + 1} + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

चरण 8.3.12

$1$ और $1$ जोड़ें.

$2 x^{2} y^{2} + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

चरण 8.3.13

$3 x + y^{2} x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$2 x^{2} y^{2} + 3 x + y^{2} x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

चरण 8.3.14

$2 x^{2} y^{2}$ और $y^{2} x^{2}$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.14.1

$y^{2}$ और $x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$2 x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

चरण 8.3.14.2

$2 x^{2} y^{2}$ और $x^{2} y^{2}$ जोड़ें.

$3 x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$3 x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d g}{d y} = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

चरण 8.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.1

फिर से लिखें.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 0 + 0 + 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

चरण 9.1.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

चरण 9.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2}) + 3 x + 3 \cdot - 1$

चरण 9.1.1.4

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3$

चरण 9.1.2

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 x^{2} y^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} + 3 x = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2}$

चरण 9.1.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2} - 3 x$

चरण 9.1.2.3

$3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2} - 3 x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.3.1

$3 x^{2} y^{2}$ में से $3 x^{2} y^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 3 x - 3 + 0 - 3 x$

चरण 9.1.2.3.2

$3 x - 3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 3 x - 3 - 3 x$

चरण 9.1.2.3.3

$3 x$ में से $3 x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 0 - 3$

चरण 9.1.2.3.4

$0$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = - 3$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $- 3$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = - 3$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int - 3 d y$

चरण 10.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$g (y) = - 3 y + C$

चरण 11

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

चरण 12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = y (3 x) + y (y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

चरण 12.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f (x, y) = 3 y x + y (y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

चरण 12.3

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

$y^{2}$ ले जाएं.

$f (x, y) = 3 y x + y^{2} y x^{2} - 3 y + C$

चरण 12.3.2

$y^{2}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x, y) = 3 y x + y^{2} y^{1} x^{2} - 3 y + C$

चरण 12.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (x, y) = 3 y x + y^{2 + 1} x^{2} - 3 y + C$

चरण 12.3.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$f (x, y) = 3 y x + y^{3} x^{2} - 3 y + C$