कैलकुलस उदाहरण

$4 e^{4 y} \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 e^{4 y}$

चरण 1

मान लीजिए $v = e^{4 y}$ . $e^{4 y}$ की सभी घटनाओं के लिए $v$ को प्रतिस्थापित करें.

$4 v \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

चरण 2

$e^{4 y}$ को अलग करके $\frac{d v}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 4 y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $4 y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 y]$

चरण 2.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [4 y]$

चरण 2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $4 y$ से बदलें.

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} \frac{d}{d x} [4 y]$

चरण 2.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 y$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [y]$ है.

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 \frac{d}{d x} [y])$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 y')$

चरण 2.4

$e^{4 y} (4 y')$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{d v}{d x} = 4 e^{4 y} y'$

चरण 3

$v$ को $e^{4 y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{d v}{d x} = 4 v y'$

चरण 4

व्युत्पन्न को डिफरेन्शल इक्वेश़न में वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 v \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

चरण 4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d v}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

चरण 5

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 v$ घटाएं.

$\frac{d v}{d x} - 3 v = 2 x e^{3 x}$

चरण 6

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = - 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int - 3 d x}$

चरण 6.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{- 3 x + C}$

चरण 6.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{- 3 x}$

चरण 7

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{- 3 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

प्रत्येक पद को $e^{- 3 x}$ से गुणा करें.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 v) = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

चरण 7.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

चरण 7.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{- 3 x} (x e^{3 x})$

चरण 7.4

घातांक जोड़कर $e^{- 3 x}$ को $e^{3 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$e^{3 x}$ ले जाएं.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 (e^{3 x} e^{- 3 x}) x$

चरण 7.4.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{3 x - 3 x} x$

चरण 7.4.3

$3 x$ में से $3 x$ घटाएं.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{0} x$

चरण 7.5

$2 e^{0} x$ को सरल करें.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$

चरण 7.6

गुणनखंडों को $e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 v e^{- 3 x} = 2 x$

चरण 8

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] = 2 x$

चरण 9

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] d x = \int 2 x d x$

चरण 10

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{- 3 x} v = \int 2 x d x$

चरण 11

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- 3 x} v = 2 \int x d x$

चरण 11.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 11.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ को $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

चरण 11.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.2.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

चरण 11.3.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

चरण 11.3.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{- 3 x} v = 1 x^{2} + C$

चरण 11.3.2.3

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{- 3 x} v = x^{2} + C$

चरण 12

$e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{- 3 x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{- 3 x}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

चरण 12.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$e^{- 3 x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

चरण 12.2.1.2

$v$ को $1$ से विभाजित करें.

$v = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

चरण 13

$v$ की सभी घटनाओं को $e^{4 y}$ से बदलें.

$e^{4 y} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

चरण 14

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{4 y}) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

चरण 14.2

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$4 y$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{4 y})$ का प्रसार करें.

$4 y \ln (e) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

चरण 14.2.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$4 y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

चरण 14.2.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

चरण 14.3

$4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

$4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

चरण 14.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

चरण 14.3.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$