कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 4 \int \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u_{3} = \cos (e^{2 x})$ .फिर $d u_{3} = - 2 e^{2 x} \sin (e^{2 x}) d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u_{3} = e^{2 x} \sin (e^{2 x}) d x$ . $u_{3}$ और $d$ $u_{3}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

मान लें $u_{3} = \cos (e^{2 x})$ . $\frac{d u_{3}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$\cos (e^{2 x})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})]$

चरण 2.3.2.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = e^{2 x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $e^{2 x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 2.3.2.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 2.3.2.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $e^{2 x}$ से बदलें.

$- \sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 2.3.2.1.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$- \sin (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.3.2.1.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$- \sin (e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.3.2.1.3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$- \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.3.2.1.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.4.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 2.3.2.1.4.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

चरण 2.3.2.1.4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)$

चरण 2.3.2.1.4.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.4.4.1

$e^{2 x}$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

चरण 2.3.2.1.4.4.2

$- 2 \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- 2 e^{2 x} \sin (e^{2 x})$

चरण 2.3.2.2

$u_{3}$ और $d u_{3}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = 4 \int u_{3} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

चरण 2.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y + C_{1} = 4 \int u_{3} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

चरण 2.3.3.2

$u_{3}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = 4 \int - \frac{u_{3}}{2} d u_{3}$

चरण 2.3.4

चूँकि $- 1$ बटे $u_{3}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 4 (- \int \frac{u_{3}}{2} d u_{3})$

चरण 2.3.5

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{3}}{2} d u_{3}$

चरण 2.3.6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{3}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{3} d u_{3})$

चरण 2.3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$\frac{1}{2}$ और $- 4$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{3} d u_{3}$

चरण 2.3.7.2

$- 4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.1

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{3} d u_{3}$

चरण 2.3.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{3} d u_{3}$

चरण 2.3.7.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{3} d u_{3}$

चरण 2.3.7.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{3} d u_{3}$

चरण 2.3.7.2.2.4

$- 2$ को $1$ से विभाजित करें.

$y + C_{1} = - 2 \int u_{3} d u_{3}$

चरण 2.3.8

घात नियम के अनुसार, $u_{3}$ के संबंध में $u_{3}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ है.

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2})$

चरण 2.3.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.9.1

$- 2 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2})$ को $- 2 (\frac{1}{2}) {u_{3}}^{2} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{3}}^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.9.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.9.2.1

$- 2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.9.2.2

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.9.2.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.9.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.9.2.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.9.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.9.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.9.2.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$y + C_{1} = - {u_{3}}^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.10

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $\cos (e^{2 x})$ से बदलें.

$y + C_{1} = - \cos^{2} (e^{2 x}) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = - \cos^{2} (e^{2 x}) + K$