कैलकुलस उदाहरण

$(1 + \ln (x) + \frac{y}{x}) d x + (- 1 + \ln (x)) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + \ln (x) + \frac{y}{x}]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

चरण 1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

चरण 1.2.3

चूंकि $y$ के संबंध में $\ln (x)$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $\frac{1}{x}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{y}{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

चरण 1.3.3

$\frac{1}{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x}$

चरण 1.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

चरण 1.4.2

$0$ और $\frac{1}{x}$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = - 1 + \ln (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 1 + \ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 2.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 2.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{x}$

चरण 2.4

$0$ और $\frac{1}{x}$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $\frac{1}{x}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $\frac{1}{x}$ प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int - 1 + \ln (x) d y$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = - 1 + \ln (x)$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + C$

चरण 6

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y + g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $(- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

चरण 8.3

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $(- 1 + \ln (x)) y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)]$ है.

$y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

चरण 8.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 1 + \ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ है.

$y (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

चरण 8.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$y (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

चरण 8.3.4

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$y (0 + \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

चरण 8.3.5

$0$ और $\frac{1}{x}$ जोड़ें.

$y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

चरण 8.3.6

$y$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

चरण 8.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

चरण 9

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

चर वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\ln (x)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) = 1 + \frac{y}{x}$

चरण 9.1.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{y}{x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x} = 1$

चरण 9.1.1.3

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.3.1

$\frac{y}{x}$ में से $\frac{y}{x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} + 0 - \ln (x) = 1$

चरण 9.1.1.3.2

$\frac{d g}{d x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} - \ln (x) = 1$

चरण 9.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $\ln (x)$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$

चरण 10

$g (x)$ को खोजने के लिए $1 + \ln (x)$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 1 + \ln (x) d x$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int 1 + \ln (x) d x$

चरण 10.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$g (x) = \int d x + \int \ln (x) d x$

चरण 10.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$g (x) = x + C + \int \ln (x) d x$

चरण 10.5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (x)$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

चरण 10.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.6.1

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

चरण 10.6.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.6.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

चरण 10.6.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int d x$

चरण 10.7

स्थिरांक नियम लागू करें.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - (x + C)$

चरण 10.8

सरल करें.

$g (x) = x + \ln (x) x - x + C$

चरण 10.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.9.1

$x$ में से $x$ घटाएं.

$g (x) = \ln (x) x + 0 + C$

चरण 10.9.2

$\ln (x) x$ और $0$ जोड़ें.

$g (x) = \ln (x) x + C$

चरण 11

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$

चरण 12

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = - 1 y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

चरण 12.1.2

$- 1 y$ को $- y$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

चरण 12.2

गुणनखंडों को $f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = - y + y \ln (x) + x \ln (x) + C$