कैलकुलस उदाहरण

$y (\frac{d^{2} x}{d y^{2}}) = y^{2} + 1$

चरण 1

मान लें कि सभी समाधान $x = e^{r y}$ के रूप में हैं.

चरण 2

$y \frac{d^{2} x}{d y^{2}} = y^{2} + 1$ के लिए अभिलाक्षणिक समीकरण पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

$\frac{d x}{d y} = r e^{r y}$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

$\frac{d^{2} x}{d y^{2}} = r^{2} e^{r y}$

चरण 2.3

डिफरेन्शल इक्वेश़न में प्रतिस्थापित करें

$y (r^{2} e^{r y}) = y^{2} + 1$

चरण 2.4

गुणनखंडों को $y (r^{2} e^{r y})$ में पुन: क्रमित करें.

$y r^{2} e^{r y} = y^{2} + 1$

चरण 2.5

$y r^{2} e^{r y}$ में से $e^{r y}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r y} (y r^{2}) = y^{2} + 1$

चरण 2.6

चूंकि घातांक कभी शून्य नहीं हो सकते, इसलिए दोनों पक्षों को $e^{r y}$ से विभाजित करें.

$y r^{2} = y^{2} + 1$

चरण 3

$r$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y r^{2} = y^{2} + 1$ के प्रत्येक पद को $y$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$y r^{2} = y^{2} + 1$ के प्रत्येक पद को $y$ से विभाजित करें.

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

चरण 3.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

चरण 3.1.2.1.2

$r^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$r^{2} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

चरण 3.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

$y^{2}$ और $y$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1.1

$y^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}$

चरण 3.1.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y^{1}} + \frac{1}{y}$

चरण 3.1.3.1.2.2

$y^{1}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

चरण 3.1.3.1.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

चरण 3.1.3.1.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r^{2} = \frac{y}{1} + \frac{1}{y}$

चरण 3.1.3.1.2.5

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$r^{2} = y + \frac{1}{y}$

चरण 3.2

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$r = \pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$

चरण 3.3

$\pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$y$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{y}{y}$ से गुणा करें.

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}}$

चरण 3.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y + 1}{y}}$

चरण 3.3.3

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$r = \pm \sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$

चरण 3.3.4

$\sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$ को $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$

चरण 3.3.5

$\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ को $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ से गुणा करें.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

चरण 3.3.6

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1

$\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ को $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ से गुणा करें.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

चरण 3.3.6.2

$\sqrt{y}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

चरण 3.3.6.3

$\sqrt{y}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

चरण 3.3.6.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

चरण 3.3.6.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

चरण 3.3.6.6

${\sqrt{y}}^{2}$ को $y$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.6.1

$\sqrt{y}$ को $y^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.3.6.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.3.6.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.3.6.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.3.6.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{1}}$

चरण 3.3.6.6.5

सरल करें.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y}$

चरण 3.3.7

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$r = \pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$

चरण 3.3.8

गुणनखंडों को $\pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$ में पुन: क्रमित करें.

$r = \pm \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

चरण 3.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

चरण 3.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

चरण 3.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

चरण 4

$r$ के दो पाए गए मानों के साथ, दो समाधानों का निर्माण किया जा सकता है.

$x_{1} = e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

$x_{2} = e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

चरण 5

सुपरपोज़िशन के सिद्धांत के अनुसार, सामान्य समाधान दूसरे क्रम के सजातीय रैखिक डिफरेन्शल इक्वेश़न के लिए दो समाधानों का एक रैखिक संयोजन है.

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

चरण 6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

चरण 6.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

चरण 6.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

चरण 6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

चरण 6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}$