कैलकुलस उदाहरण

$x (1 + x^{2}) d x + y (1 + y^{2}) d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x (1 + x^{2}) d x$ घटाएं.

$y (1 + y^{2}) d y = - x (1 + x^{2}) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int y (1 + y^{2}) d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

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चरण 2.2.1

सरल करें.

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चरण 2.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int y \cdot 1 + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

चरण 2.2.1.2

$y$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$\int 1 \cdot y + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

चरण 2.2.1.3

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$\int y + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

चरण 2.2.1.4

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int y + y^{1} y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

चरण 2.2.1.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int y + y^{1 + 2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

चरण 2.2.1.6

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\int y + y^{3} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

चरण 2.2.1.7

$y$ और $y^{3}$ को पुन: क्रमित करें.

$\int y^{3} + y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

चरण 2.2.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int y^{3} d y + \int y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

चरण 2.2.3

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} y^{4}$ है.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

चरण 2.2.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int - x (1 + x^{2}) d x$

चरण 2.2.5

सरल करें.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - x (1 + x^{2}) d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

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चरण 2.3.1

मान लीजिए $u = 1 + x^{2}$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 2.3.1.1

मान लें $u = 1 + x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 2.3.1.1.1

$1 + x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 2.3.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.1.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 x$

चरण 2.3.1.1.5

$0$ और $2 x$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 2.3.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - u \frac{1}{2} d u$

चरण 2.3.2

$\frac{1}{2}$ और $u$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - \frac{u}{2} d u$

चरण 2.3.3

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \int \frac{u}{2} d u$

चरण 2.3.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - (\frac{1}{2} \int u d u)$

चरण 2.3.5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u$ का समाकलन $\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{4})$

चरण 2.3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{4})$ को $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2 \cdot 2} u^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{4} u^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.7

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + x^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{4} {(1 + x^{2})}^{2} + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{4} {(1 + x^{2})}^{2} + K$