कैलकुलस उदाहरण

$y d x + (x - x y + 2) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x - x y + 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - x y + 2]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - x y + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x y$ का व्युत्पन्न $- y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.2

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y + 0$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$1 - y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y$

चरण 2.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 1$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $1$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $- y + 1$ प्रतिस्थापित करें.

$1 = - y + 1$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$1 = - y + 1$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- y + 1$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{- y + 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 4.2

$1$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{- y + 1 - 1}{M}$

चरण 4.3

$y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{- y + 1 - 1}{y}$

चरण 4.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{- y + 0}{y}$

चरण 4.3.2.2

$- y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- y}{y}$

चरण 4.3.3

$y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- y}{y}$

चरण 4.3.3.2

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 1$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int - 1 d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

चरण 5.2

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

चरण 6

$y d x + (x - x y + 2) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $e^{- y}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$y$ को $e^{- y}$ से गुणा करें.

$y e^{- y} d x + (x - x y + 2) d y = 0$

चरण 6.2

$x - x y + 2$ को $e^{- y}$ से गुणा करें.

$y e^{- y} d x + (x - x y + 2) e^{- y} d y = 0$

चरण 6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y e^{- y} d x + (x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}) d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int y e^{- y} d x$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = y e^{- y}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = y e^{- y} x + C$

चरण 9

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = y e^{- y} x + g (y)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x + g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y e^{- y} x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

चरण 11.3

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y e^{- y} x$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y e^{- y}]$ है.

$x \frac{d}{d y} [y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

चरण 11.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ है, जहाँ $f (y) = y$ और $g (y) = e^{- y}$ है.

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- y}] + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

चरण 11.3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = e^{y}$ और $g (y) = - y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- y$ के रूप में सेट करें.

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

चरण 11.3.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

चरण 11.3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- y$ से बदलें.

$x (y (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

चरण 11.3.4

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [y]$ है.

$x (y (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

चरण 11.3.5

$x (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

चरण 11.3.6

$x (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

चरण 11.3.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$x (y (e^{- y} \cdot - 1) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

चरण 11.3.8

$- 1$ को $e^{- y}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x (y (- 1 \cdot e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

चरण 11.3.9

$- 1 e^{- y}$ को $- e^{- y}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

चरण 11.3.10

$e^{- y}$ को $1$ से गुणा करें.

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

चरण 11.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x (y (- e^{- y})) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

चरण 11.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x y + e^{- y} x = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

चरण 11.5.3

गुणनखंडों को $\frac{d g}{d y} - e^{- y} x y + e^{- y} x$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d y} - x y e^{- y} + x e^{- y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

चरण 12

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $x y e^{- y}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} + x e^{- y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y}$

चरण 12.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $x e^{- y}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y} - x e^{- y}$

चरण 12.1.3

$x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y} - x e^{- y}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.3.1

$- x y e^{- y}$ और $x y e^{- y}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} + 2 e^{- y} + 0 - x e^{- y}$

चरण 12.1.3.2

$x e^{- y} + 2 e^{- y}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} + 2 e^{- y} - x e^{- y}$

चरण 12.1.3.3

$x e^{- y}$ में से $x e^{- y}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y} + 0$

चरण 12.1.3.4

$2 e^{- y}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y}$

चरण 13

$g (y)$ को खोजने के लिए $2 e^{- y}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 e^{- y} d y$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int 2 e^{- y} d y$

चरण 13.3

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = 2 \int e^{- y} d y$

चरण 13.4

मान लीजिए $u = - y$ .फिर $d u = - d y$ , तो $- d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.1

मान लें $u = - y$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.1.1

$- y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [- y]$

चरण 13.4.1.2

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [y]$ है.

$- \frac{d}{d y} [y]$

चरण 13.4.1.3

$- 1 \cdot 1$

चरण 13.4.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 13.4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$g (y) = 2 \int - e^{u} d u$

चरण 13.5

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = 2 (- \int e^{u} d u)$

चरण 13.6

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$g (y) = - 2 \int e^{u} d u$

चरण 13.7

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$g (y) = - 2 (e^{u} + C)$

चरण 13.8

सरल करें.

$g (y) = - 2 e^{u} + C$

चरण 13.9

$u$ की सभी घटनाओं को $- y$ से बदलें.

$g (y) = - 2 e^{- y} + C$

चरण 14

$f (x, y) = y e^{- y} x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = y e^{- y} x - 2 e^{- y} + C$

चरण 15

गुणनखंडों को $f (x, y) = y e^{- y} x - 2 e^{- y} + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = y x e^{- y} - 2 e^{- y} + C$