कैलकुलस उदाहरण

$(x + 2 y) d x + x d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x + 2 y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 2 y]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x + 2 y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$

चरण 1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \cdot 1$

चरण 1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2$

चरण 1.4

$0$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $2$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $1$ प्रतिस्थापित करें.

$2 = 1$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$2 = 1$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$2$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

चरण 4.2

$1$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 - 1}{N}$

चरण 4.3

$x$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$x$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 - 1}{x}$

चरण 4.3.2

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{x}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

चरण 5.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

चरण 5.2.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = | x | + C$

चरण 6

$(x + 2 y) d x + x d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x + 2 y$ को $x$ से गुणा करें.

$(x + 2 y) x d x + x d y = 0$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x \cdot x + 2 y x) d x + x d y = 0$

चरण 6.3

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$(x^{2} + 2 y x) d x + x d y = 0$

चरण 6.4

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$(x^{2} + 2 y x) d x + x \cdot x d y = 0$

चरण 6.5

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$(x^{2} + 2 y x) d x + x^{2} d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x^{2} d y$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = x^{2}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = x^{2} y + C$

चरण 9

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} + 2 y x$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + g (x)] = x^{2} + 2 y x$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} y + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

चरण 11.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x^{2} y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

चरण 11.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

चरण 11.3.3

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$2 y x + \frac{d g}{d x} = x^{2} + 2 y x$

चरण 11.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = x^{2} + 2 y x$

चरण 12

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 2 y x - 2 x y$

चरण 12.1.2

$x^{2} + 2 y x - 2 x y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

गुणनखंडों को $2 y x$ और $- 2 x y$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 2 x y - 2 x y$

चरण 12.1.2.2

$2 x y$ में से $2 x y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 0$

चरण 12.1.2.3

$x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = x^{2}$

चरण 13

$g (x)$ को खोजने के लिए $x^{2}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d x} = x^{2}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} d x$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int x^{2} d x$

चरण 13.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

चरण 14

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{1}{3} x^{3} + C$

चरण 15

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{x^{3}}{3} + C$