कैलकुलस उदाहरण

$(1 + x) \frac{d y}{d x} + y = 1 + x$

चरण 1

जाँच करें कि क्या समीकरण का बायाँ पक्ष $(1 + x) y$ पद के व्युत्पन्न का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 1 + x$ और $g (x) = y$ है.

$(1 + x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$(1 + x) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x]$

चरण 1.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$(1 + x) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(1 + x) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(1 + x) y' + y (0 + 1)$

चरण 1.6

$0$ और $1$ जोड़ें.

$(1 + x) y' + y \cdot 1$

चरण 1.7

$\frac{d y}{d x}$ को $y'$ से प्रतिस्थापित करें.

$(1 + x) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

चरण 1.8

$1$ और $x$ को पुन: क्रमित करें.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

चरण 1.9

$y$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

चरण 1.10

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

चरण 2

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [(1 + x) y] = 1 + x$

चरण 3

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x) y] d x = \int 1 + x d x$

चरण 4

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$(1 + x) y = \int 1 + x d x$

चरण 5

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$(1 + x) y = \int d x + \int x d x$

चरण 5.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$(1 + x) y = x + C + \int x d x$

चरण 5.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$(1 + x) y = x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 5.4

सरल करें.

$(1 + x) y = x + \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 6

$(1 + x) y = x + \frac{1}{2} x^{2} + C$ के प्रत्येक पद को $1 + x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$(1 + x) y = x + \frac{1}{2} x^{2} + C$ के प्रत्येक पद को $1 + x$ से विभाजित करें.

$\frac{(1 + x) y}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

चरण 6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$1 + x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(1 + x) y}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

चरण 6.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{x}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

चरण 6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$y = \frac{x}{1 + x} + \frac{\frac{x^{2}}{2}}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

चरण 6.3.1.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y = \frac{x}{1 + x} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

चरण 6.3.1.3

$\frac{x^{2}}{2}$ को $\frac{1}{1 + x}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x}{1 + x} + \frac{x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

चरण 6.3.2

$\frac{x}{1 + x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

चरण 6.3.3

प्रत्येक व्यंजक को $(1 + x) \cdot 2$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

$\frac{x}{1 + x}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x \cdot 2}{(1 + x) \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

चरण 6.3.3.2

$(1 + x) \cdot 2$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$y = \frac{x \cdot 2}{2 (1 + x)} + \frac{x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

चरण 6.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x \cdot 2 + x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

चरण 6.3.5

$x \cdot 2 + x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.5.1

$x \cdot 2$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x (2) + x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

चरण 6.3.5.2

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x (2) + x \cdot x}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

चरण 6.3.5.3

$x (2) + x \cdot x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x (2 + x)}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

चरण 6.3.6

$\frac{C}{1 + x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x (2 + x)}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 6.3.7

प्रत्येक व्यंजक को $2 (1 + x)$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.7.1

$\frac{C}{1 + x}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x (2 + x)}{2 (1 + x)} + \frac{C \cdot 2}{(1 + x) \cdot 2}$

चरण 6.3.7.2

$(1 + x) \cdot 2$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$y = \frac{x (2 + x)}{2 (1 + x)} + \frac{C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

चरण 6.3.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x (2 + x) + C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

चरण 6.3.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{x \cdot 2 + x \cdot x + C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

चरण 6.3.9.2

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{2 \cdot x + x \cdot x + C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

चरण 6.3.9.3

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 \cdot x + x^{2} + C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

चरण 6.3.9.4

$2$ को $C$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{2 x + x^{2} + 2 C}{2 (1 + x)}$