कैलकुलस उदाहरण

$(y^{2} + 1) d x = (1 + x y) d y$

चरण 1

सटीक डिफरेन्शल इक्वेश़न तकनीक को फिट करने के लिए डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $(1 + x y) d y$ घटाएं.

$(y^{2} + 1) d x - (1 + x y) d y = 0$

चरण 2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = y^{2} + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 2.4

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

चरण 2.5

$2 y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

चरण 3

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = - (1 + x y)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + x y)]$

चरण 3.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- (1 + x y)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [1 + x y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + x y]$

चरण 3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y])$

चरण 3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [x y])$

चरण 3.5

$0$ और $\frac{d}{d x} [x y]$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 3.6

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (y \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \cdot 1$

चरण 3.8

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

चरण 4

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $2 y$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $- y$ प्रतिस्थापित करें.

$2 y = - y$

चरण 4.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$2 y = - y$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 5

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- y$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{- y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 5.2

$2 y$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{- y - (2 y)}{M}$

चरण 5.3

$y^{2} + 1$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$y^{2} + 1$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{- y - (2 y)}{y^{2} + 1}$

चरण 5.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$- y - 1 \cdot 2 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

$- y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y \cdot - 1 - 1 \cdot 2 y}{y^{2} + 1}$

चरण 5.3.2.1.2

$- 1 \cdot 2 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y \cdot - 1 + y (- 1 \cdot 2)}{y^{2} + 1}$

चरण 5.3.2.1.3

$y \cdot - 1 + y (- 1 \cdot 2)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (- 1 - 1 \cdot 2)}{y^{2} + 1}$

चरण 5.3.2.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{y (- 1 - 2)}{y^{2} + 1}$

चरण 5.3.2.3

$- 1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{y \cdot - 3}{y^{2} + 1}$

चरण 5.3.3

$- 3$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{- 3 \cdot y}{y^{2} + 1}$

चरण 5.3.4

$y^{2} + 1$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$- \frac{3 y}{y^{2} + 1}$

चरण 5.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3 y}{y^{2} + 1} d y}$

चरण 6

इंटिग्रल $e^{\int - \frac{3 y}{y^{2} + 1} d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3 y}{y^{2} + 1} d y}$

चरण 6.2

चूँकि $3$ बटे $y$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{y}{y^{2} + 1} d y)}$

चरण 6.3

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{y}{y^{2} + 1} d y}$

चरण 6.4

मान लीजिए $u = y^{2} + 1$ .फिर $d u = 2 y d y$ , तो $\frac{1}{2} d u = y d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

मान लें $u = y^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1.1

$y^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

चरण 6.4.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 6.4.1.3

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 6.4.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 y + 0$

चरण 6.4.1.5

$2 y$ और $0$ जोड़ें.

$2 y$

चरण 6.4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

चरण 6.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

चरण 6.5.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

चरण 6.6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

चरण 6.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

$\frac{1}{2}$ और $- 3$ को मिलाएं.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

चरण 6.7.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

चरण 6.8

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

चरण 6.9

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| u |)} + C$

चरण 6.10

$u$ की सभी घटनाओं को $y^{2} + 1$ से बदलें.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)} + C$

चरण 6.11

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.11.1

$- \frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.11.1.1

$\ln (| y^{2} + 1 |)$ और $\frac{3}{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))} + C$

चरण 6.11.1.2

$\frac{3}{2}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} + C$

चरण 6.11.2

$- 1$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- \ln ({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})} + C$

चरण 6.11.3

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + C$

चरण 6.11.4

घातांक को ${({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.11.4.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} + C$

चरण 6.11.4.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.11.4.2.1

$\frac{3}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} + C$

चरण 6.11.4.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{\frac{- 3}{2}} + C$

चरण 6.11.4.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{- \frac{3}{2}} + C$

चरण 6.11.5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + C$

चरण 7

$(y^{2} + 1) d x - (1 + x y) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$y^{2} + 1$ को $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ से गुणा करें.

$(y^{2} + 1) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x y) d y = 0$

चरण 7.2

$y^{2} + 1$ को $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{y^{2} + 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x y) d y = 0$

चरण 7.3

समान आधार के लिए न्यूमेरेटर के घातांक से भाजक में से घातांक घटाएं

${(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{3}{2} \cdot - 1} d x - (1 + x y) d y = 0$

चरण 7.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1.1

$\frac{3}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

${(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{3 \cdot - 1}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

चरण 7.4.1.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

${(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{- 3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

चरण 7.4.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

${(y^{2} + 1)}^{1 - \frac{3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

चरण 7.5

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

${(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

चरण 7.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

${(y^{2} + 1)}^{\frac{2 - 3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

चरण 7.7

$2$ में से $3$ घटाएं.

${(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

चरण 7.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

चरण 7.9

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x - (1 + x y) d y = 0$

चरण 7.10

$- (1 + x y)$ को $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x - (1 + x y) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

चरण 7.11

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + (- 1 \cdot 1 - (x y)) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

चरण 7.12

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + (- 1 - (x y)) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

चरण 7.13

$- 1 - x y$ को $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 - x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

चरण 7.14

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

चरण 7.15

$- x y$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - (x y)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

चरण 7.16

$- 1 (1) - (x y)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 (1 + x y)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

चरण 7.17

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

चरण 8

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

चरण 9

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + C$

चरण 9.2

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 10

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ है.

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.2

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x \frac{d}{d y} [{({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = y^{- 1}$ और $g (y) = {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$x (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ और $g (y) = y^{2} + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $y^{2} + 1$ के रूप में सेट करें.

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $y^{2} + 1$ से बदलें.

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.5

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.6

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + \frac{d}{d y} [1]))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.7

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.8

घातांक को ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.8.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.8.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.8.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.9

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.10

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.11

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.12

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.12.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.12.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.13

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.14

$2 y$ और $0$ जोड़ें.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.15

$\frac{1}{2}$ और ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{{(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.16

$2$ और $\frac{{(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{2 {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.17

$\frac{2 {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ और $y$ को मिलाएं.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{2 {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} y}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.18

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{2 y}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.19

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{2 y}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.20

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.21

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ और ${(y^{2} + 1)}^{- 1}$ को मिलाएं.

$x (- \frac{y {(y^{2} + 1)}^{- 1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.22

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(y^{2} + 1)}^{- 1}$ को भाजक में ले जाएँ.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (y^{2} + 1)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.23

घातांक जोड़कर ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को $y^{2} + 1$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.23.1

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को $y^{2} + 1$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.23.1.1

$y^{2} + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{1}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.23.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.23.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.23.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.23.4

$1$ और $2$ जोड़ें.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.3.24

$x$ और $\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ को मिलाएं.

$- \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$- \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 12.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} - \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 13

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

चर वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

चरण 13.1.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x y + 1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

चरण 13.1.1.3

$- x y + 1 + x y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1.3.1

$- x y$ और $x y$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

चरण 13.1.1.3.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

चरण 13.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 14

$g (y)$ को खोजने के लिए $- \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y$

चरण 14.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y$

चरण 14.3

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - \int \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y$

चरण 14.4

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(y^{2} + 1)}^{3}}} d y$

चरण 14.5

मान लीजिए $y = \tan (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d y = \sec^{2} (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\sec^{2} (t)$ सकारात्मक है.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

चरण 14.6

$\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.6.1

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

चरण 14.6.2

घातांक को ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.6.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

चरण 14.6.2.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

चरण 14.6.3

$\sec^{6} (t)$ को ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

चरण 14.6.4

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

चरण 14.7

$\sec^{2} (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.7.1

$\sec^{3} (t)$ में से $\sec^{2} (t)$ का गुणनखंड करें.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

चरण 14.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

चरण 14.7.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

चरण 14.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.8.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (t)$ को फिर से लिखें.

$g (y) = - \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

चरण 14.8.2

$\frac{1}{\cos (t)}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$g (y) = - \int 1 \cos (t) d t$

चरण 14.8.3

$\cos (t)$ को $1$ से गुणा करें.

$g (y) = - \int \cos (t) d t$

चरण 14.9

$t$ के संबंध में $\cos (t)$ का इंटीग्रल $\sin (t)$ है.

$g (y) = - (\sin (t) + C)$

चरण 14.10

सरल करें.

$g (y) = - \sin (t) + C$

चरण 14.11

$t$ की सभी घटनाओं को $\arctan (y)$ से बदलें.

$g (y) = - \sin (\arctan (y)) + C$

चरण 15

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \sin (\arctan (y)) + C$

चरण 16

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \sin (\arctan (y)) + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.1

समतल में एक त्रिभुज बनाएंं जिसमें शीर्ष $(1, y)$ , $(1, 0)$ और मूल बिंदु हों. फिर $\arctan (y)$ धनात्मक x-अक्ष और किरण के बीच का कोण है जो मूल बिंदु से शुरू होकर $(1, y)$ से होकर गुजरती है. इसलिए, $\sin (\arctan (y))$ $\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ है.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}} + C$

चरण 16.1.2

$\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ को $\frac{\sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}}}) + C$

चरण 16.1.3

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.3.1

$\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ को $\frac{\sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}} \sqrt{1 + y^{2}}} + C$

चरण 16.1.3.2

$\sqrt{1 + y^{2}}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{1} \sqrt{1 + y^{2}}} + C$

चरण 16.1.3.3

$\sqrt{1 + y^{2}}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + y^{2}}}^{1}} + C$

चरण 16.1.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{1 + 1}} + C$

चरण 16.1.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{2}} + C$

चरण 16.1.3.6

${\sqrt{1 + y^{2}}}^{2}$ को $1 + y^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.3.6.1

$\sqrt{1 + y^{2}}$ को ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

चरण 16.1.3.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

चरण 16.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

चरण 16.1.3.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.3.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

चरण 16.1.3.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{1}} + C$

चरण 16.1.3.6.5

सरल करें.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} + C$

चरण 16.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} + C$

चरण 16.3

$\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} + C$

चरण 16.4

$- \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 16.5

प्रत्येक व्यंजक को $(y^{2} + 1) {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.5.1

$\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (y^{2} + 1)} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 16.5.2

घातांक जोड़कर ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को $y^{2} + 1$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.5.2.1

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को $y^{2} + 1$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.5.2.1.1

$y^{2} + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{1}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 16.5.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 16.5.2.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 16.5.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 16.5.2.4

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 16.5.3

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1}$ को $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{(y^{2} + 1) {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 16.5.4

घातांक जोड़कर $y^{2} + 1$ को ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.5.4.1

$y^{2} + 1$ को ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.5.4.1.1

$y^{2} + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{1} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 16.5.4.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}} + C$

चरण 16.5.4.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + C$

चरण 16.5.4.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}} + C$

चरण 16.5.4.4

$2$ और $1$ जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

चरण 16.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1) - y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

चरण 16.7

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.7.1.1

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1) - y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

चरण 16.7.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x \cdot 1 - y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

चरण 16.7.1.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

चरण 16.7.1.4

$- y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.7.1.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

चरण 16.7.1.4.2

घातांक जोड़कर ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.7.1.4.2.1

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y ({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

चरण 16.7.1.4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

चरण 16.7.1.4.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

चरण 16.7.1.4.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

चरण 16.7.1.4.2.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

चरण 16.7.1.4.3

$- y {(y^{2} + 1)}^{1}$ को सरल करें.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

चरण 16.7.1.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y \cdot y^{2} - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

चरण 16.7.1.6

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.7.1.6.1

$y^{2}$ ले जाएं.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - (y^{2} y) - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

चरण 16.7.1.6.2

$y^{2}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.7.1.6.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - (y^{2} y^{1}) - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

चरण 16.7.1.6.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y^{2 + 1} - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

चरण 16.7.1.6.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y^{3} - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

चरण 16.7.1.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y^{3} - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

चरण 16.7.1.8

$x y^{2} + x - y^{3} - y$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.7.1.8.1

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.7.1.8.1.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$f (x, y) = \frac{(x y^{2} + x) - y^{3} - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

चरण 16.7.1.8.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1) - y (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

चरण 16.7.1.8.2

महत्तम समापवर्तक, $y^{2} + 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{(y^{2} + 1) (x - y)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

चरण 16.7.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके ${(y^{2} + 1)}^{1}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(y^{2} + 1)}^{- 1}} + C$

चरण 16.7.3

घातांक जोड़कर ${(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ को ${(y^{2} + 1)}^{- 1}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.7.3.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1}} + C$

चरण 16.7.3.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} + C$

चरण 16.7.3.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} + C$

चरण 16.7.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} + C$

चरण 16.7.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.7.3.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}}} + C$

चरण 16.7.3.5.2

$3$ में से $2$ घटाएं.

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$