कैलकुलस उदाहरण

$(y + 1) d x - x d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $(y + 1) d x$ घटाएं.

$- x d y = - (y + 1) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{x (y + 1)}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x (y + 1)} (- x) d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$- \frac{1}{x (y + 1)} x d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

चरण 3.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- \frac{1}{x (y + 1)}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{- 1}{x (y + 1)} x d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

चरण 3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 1}{x (y + 1)} x d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

चरण 3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{y + 1} d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

चरण 3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

चरण 3.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{x (y + 1)} (y + 1) d x$

चरण 3.5

$y + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$- \frac{1}{x (y + 1)}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{x (y + 1)} (y + 1) d x$

चरण 3.5.2

$x (y + 1)$ में से $y + 1$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) x} (y + 1) d x$

चरण 3.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) x} (y + 1) d x$

चरण 3.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{x} d x$

चरण 3.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{x} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.2

मान लीजिए $u = y + 1$ . फिर $d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

मान लें $u = y + 1$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

$y + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

चरण 4.2.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 4.2.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 4.2.2.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 4.2.2.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.2.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.3

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.4

सरल करें.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.5

$u$ की सभी घटनाओं को $y + 1$ से बदलें.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

चरण 4.3.3

सरल करें.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$- \ln (| y + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| x |) = C$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $\ln (| x |)$ घटाएं.

$- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x |)$

चरण 5.3

$- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x |)$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x |)$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

चरण 5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\ln (| y + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

चरण 5.3.2.2

$\ln (| y + 1 |)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| y + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

चरण 5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.1

ऋणात्मक को $\frac{C}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$\ln (| y + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

चरण 5.3.3.1.2

$- 1 \cdot C$ को $- C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

चरण 5.3.3.1.3

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{1}$

चरण 5.3.3.1.4

$\ln (| x |)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| y + 1 |) = - C + \ln (| x |)$

चरण 5.4

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| x |) = - C$

चरण 5.5

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |}) = - C$

चरण 5.6

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |})} = e^{- C}$

चरण 5.7

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |}) = - C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- C} = \frac{| y + 1 |}{| x |}$

चरण 5.8

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1

समीकरण को $\frac{| y + 1 |}{| x |} = e^{- C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{| y + 1 |}{| x |} = e^{- C}$

चरण 5.8.2

दोनों पक्षों को $| x |$ से गुणा करें.

$\frac{| y + 1 |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

चरण 5.8.3

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.3.1

$| x |$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| y + 1 |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

चरण 5.8.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| y + 1 | = e^{- C} | x |$

चरण 5.8.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.4.1

गुणनखंडों को $e^{- C} | x |$ में पुन: क्रमित करें.

$| y + 1 | = | x | e^{- C}$

चरण 5.8.4.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y + 1 = \pm | x | e^{- C}$

चरण 5.8.4.3

गुणनखंडों को $\pm | x | e^{- C}$ में पुन: क्रमित करें.

$y + 1 = \pm e^{- C} | x |$

चरण 5.8.4.4

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$y = \pm e^{- C} | x | - 1$

चरण 6

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \pm C | x | - 1$

चरण 6.2

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C | x | - 1$