कैलकुलस उदाहरण

$e^{x + 3 y} d y = x d x$

चरण 1

सटीक डिफरेन्शल इक्वेश़न तकनीक को फिट करने के लिए डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x d x$ घटाएं.

$e^{x + 3 y} d y - x d x = 0$

चरण 1.2

फिर से लिखें.

$- x d x + e^{x + 3 y} d y = 0$

चरण 2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- x]$

चरण 2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $- x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

चरण 3

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = e^{x + 3 y}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x + 3 y}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x + 3 y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 3 y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

चरण 3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 3 y$ से बदलें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + 3 y} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 3 y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + 3 y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + 3 y} (1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

चरण 3.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $3 y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + 3 y} (1 + 0)$

चरण 3.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + 3 y} \cdot 1$

चरण 3.3.4.2

$e^{x + 3 y}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + 3 y}$

चरण 4

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $0$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $e^{x + 3 y}$ प्रतिस्थापित करें.

$0 = e^{x + 3 y}$

चरण 4.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$0 = e^{x + 3 y}$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 5

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$0$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

चरण 5.2

$e^{x + 3 y}$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - e^{x + 3 y}}{N}$

चरण 5.3

$e^{x + 3 y}$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$e^{x + 3 y}$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - e^{x + 3 y}}{e^{x + 3 y}}$

चरण 5.3.2

$0$ में से $e^{x + 3 y}$ घटाएं.

$\frac{- e^{x + 3 y}}{e^{x + 3 y}}$

चरण 5.3.3

$e^{x + 3 y}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- e^{x + 3 y}}{e^{x + 3 y}}$

चरण 5.3.3.2

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 1$

चरण 5.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d x}$

चरण 6

इंटिग्रल $e^{\int - 1 d x}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$μ (x, y) = e^{- x + C}$

चरण 6.2

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{- x} + C$

चरण 7

$- x d x + e^{x + 3 y} d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $e^{- x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- x$ को $e^{- x}$ से गुणा करें.

$- x e^{- x} d x + e^{x + 3 y} d y = 0$

चरण 7.2

$e^{x + 3 y}$ को $e^{- x}$ से गुणा करें.

$- x e^{- x} d x + e^{x + 3 y} e^{- x} d y = 0$

चरण 7.3

घातांक जोड़कर $e^{x + 3 y}$ को $e^{- x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- x e^{- x} d x + e^{x + 3 y - x} d y = 0$

चरण 7.3.2

$x + 3 y - x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1

$x$ में से $x$ घटाएं.

$- x e^{- x} d x + e^{3 y + 0} d y = 0$

चरण 7.3.2.2

$3 y$ और $0$ जोड़ें.

$- x e^{- x} d x + e^{3 y} d y = 0$

चरण 8

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int e^{3 y} d y$

चरण 9

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = e^{3 y}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लीजिए $u = 3 y$ .फिर $d u = 3 d y$ , तो $\frac{1}{3} d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

मान लें $u = 3 y$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.1

$3 y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [3 y]$

चरण 9.1.1.2

चूंकि $3$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 y$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$3 \frac{d}{d y} [y]$

चरण 9.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 9.1.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 9.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$f (x, y) = \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

चरण 9.2

$e^{u}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

चरण 9.3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

चरण 9.4

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$f (x, y) = \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

चरण 9.5

सरल करें.

$f (x, y) = \frac{1}{3} e^{u} + C$

चरण 9.6

$u$ की सभी घटनाओं को $3 y$ से बदलें.

$f (x, y) = \frac{1}{3} e^{3 y} + C$

चरण 10

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{1}{3} e^{3 y} + g (x)$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = - x e^{- x}$

चरण 12

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 y} + g (x)] = - x e^{- x}$

चरण 12.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{1}{3} e^{3 y} + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - x e^{- x}$

चरण 12.3

चूंकि $x$ के संबंध में $\frac{1}{3} e^{3 y}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{3} e^{3 y}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = - x e^{- x}$

चरण 12.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$0 + \frac{d g}{d x} = - x e^{- x}$

चरण 12.5

$0$ और $\frac{d g}{d x}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = - x e^{- x}$

चरण 13

$g (x)$ को खोजने के लिए $- x e^{- x}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d x} = - x e^{- x}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x e^{- x} d x$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int - x e^{- x} d x$

चरण 13.3

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = - \int x e^{- x} d x$

चरण 13.4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{- x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$g (x) = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

चरण 13.5

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

चरण 13.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.6.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$g (x) = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

चरण 13.6.2

$\int e^{- x} d x$ को $1$ से गुणा करें.

$g (x) = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

चरण 13.7

मान लीजिए $u = - x$ .फिर $d u = - d x$ , तो $- d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.7.1

मान लें $u = - x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.7.1.1

$- x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- x]$

चरण 13.7.1.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x]$

चरण 13.7.1.3

$- 1 \cdot 1$

चरण 13.7.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 13.7.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$g (x) = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

चरण 13.8

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

चरण 13.9

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$g (x) = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

चरण 13.10

$- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ को $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (x) = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

चरण 13.11

$u$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$g (x) = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

चरण 13.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$g (x) = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

चरण 13.12.2

$- (- x e^{- x})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.12.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$g (x) = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

चरण 13.12.2.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$g (x) = x e^{- x} - - e^{- x} + C$

चरण 13.12.3

$- - e^{- x}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.12.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$g (x) = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C$

चरण 13.12.3.2

$e^{- x}$ को $1$ से गुणा करें.

$g (x) = x e^{- x} + e^{- x} + C$

चरण 14

$f (x, y) = \frac{1}{3} e^{3 y} + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{1}{3} e^{3 y} + x e^{- x} + e^{- x} + C$

चरण 15

$\frac{1}{3}$ और $e^{3 y}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{e^{3 y}}{3} + x e^{- x} + e^{- x} + C$