कैलकुलस उदाहरण

$(x + \sin (y) - \cos (y)) d x + x (\sin (y) + \cos (y)) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x + \sin (y) - \cos (y)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + \sin (y) - \cos (y)]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x + \sin (y) - \cos (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- \cos (y)]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- \cos (y)]$

चरण 1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- \cos (y)]$

चरण 1.3

$y$ के संबंध में $\sin (y)$ का व्युत्पन्न $\cos (y)$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y) + \frac{d}{d y} [- \cos (y)]$

चरण 1.4

$\frac{d}{d y} [- \cos (y)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- \cos (y)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [\cos (y)]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y) - \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

चरण 1.4.2

$y$ के संबंध में $\cos (y)$ का व्युत्पन्न $- \sin (y)$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y) - - \sin (y)$

चरण 1.4.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y) + 1 \sin (y)$

चरण 1.4.4

$\sin (y)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y) + \sin (y)$

चरण 1.5

$0$ और $\cos (y)$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \sin (y)$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x (\sin (y) + \cos (y))$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (\sin (y) + \cos (y))]$

चरण 2.2

चूंकि $\sin (y) + \cos (y)$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x (\sin (y) + \cos (y))$ का व्युत्पन्न $(\sin (y) + \cos (y)) \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = (\sin (y) + \cos (y)) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = (\sin (y) + \cos (y)) \cdot 1$

चरण 2.4

$\sin (y) + \cos (y)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \sin (y) + \cos (y)$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $\cos (y) + \sin (y)$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $\sin (y) + \cos (y)$ प्रतिस्थापित करें.

$\cos (y) + \sin (y) = \sin (y) + \cos (y)$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$\cos (y) + \sin (y) = \sin (y) + \cos (y)$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x (\sin (y) + \cos (y)) d y$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = x (\sin (y) + \cos (y))$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $x$ बटे $y$ अचर है, $x$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = x \int \sin (y) + \cos (y) d y$

चरण 5.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = x (\int \sin (y) d y + \int \cos (y) d y)$

चरण 5.3

$y$ के संबंध में $\sin (y)$ का इंटीग्रल $- \cos (y)$ है.

$f (x, y) = x (- \cos (y) + C + \int \cos (y) d y)$

चरण 5.4

$y$ के संबंध में $\cos (y)$ का इंटीग्रल $\sin (y)$ है.

$f (x, y) = x (- \cos (y) + C + \sin (y) + C)$

चरण 5.5

सरल करें.

$f (x, y) = x (- \cos (y) + \sin (y)) + C$

चरण 6

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = x (- \cos (y) + \sin (y)) + g (x)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = x + \sin (y) - \cos (y)$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [x (- \cos (y) + \sin (y)) + g (x)] = x + \sin (y) - \cos (y)$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x (- \cos (y) + \sin (y)) + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x (- \cos (y) + \sin (y))] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x (- \cos (y) + \sin (y))] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + \sin (y) - \cos (y)$

चरण 8.3

$\frac{d}{d x} [x (- \cos (y) + \sin (y))]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $- \cos (y) + \sin (y)$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x (- \cos (y) + \sin (y))$ का व्युत्पन्न $(- \cos (y) + \sin (y)) \frac{d}{d x} [x]$ है.

$(- \cos (y) + \sin (y)) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + \sin (y) - \cos (y)$

चरण 8.3.2

$(- \cos (y) + \sin (y)) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + \sin (y) - \cos (y)$

चरण 8.3.3

$- \cos (y) + \sin (y)$ को $1$ से गुणा करें.

$- \cos (y) + \sin (y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + \sin (y) - \cos (y)$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$- \cos (y) + \sin (y) + \frac{d g}{d x} = x + \sin (y) - \cos (y)$

चरण 8.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} - \cos (y) + \sin (y) = x + \sin (y) - \cos (y)$

चरण 9

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\cos (y)$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) = x + \sin (y) - \cos (y) + \cos (y)$

चरण 9.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $\sin (y)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = x + \sin (y) - \cos (y) + \cos (y) - \sin (y)$

चरण 9.1.3

$x + \sin (y) - \cos (y) + \cos (y) - \sin (y)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$- \cos (y)$ और $\cos (y)$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = x + \sin (y) + 0 - \sin (y)$

चरण 9.1.3.2

$x + \sin (y)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = x + \sin (y) - \sin (y)$

चरण 9.1.3.3

$\sin (y)$ में से $\sin (y)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

चरण 9.1.3.4

$x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = x$

चरण 10

$g (x)$ को खोजने के लिए $x$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x} = x$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int x d x$

चरण 10.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 11

$f (x, y) = x (- \cos (y) + \sin (y)) + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = x (- \cos (y) + \sin (y)) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = x (- \cos (y)) + x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 12.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f (x, y) = - x \cos (y) + x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 12.3

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = - x \cos (y) + x \sin (y) + \frac{x^{2}}{2} + C$