कैलकुलस उदाहरण

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + y = \ln (t)$

चरण 1

जाँच करें कि क्या समीकरण का बायाँ पक्ष $(t + 1) y$ पद के व्युत्पन्न का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = t + 1$ और $g (t) = y$ है.

$(t + 1) \frac{d}{d t} [y] + y \frac{d}{d t} [t + 1]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d t} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$(t + 1) y' + y \frac{d}{d t} [t + 1]$

चरण 1.3

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ है.

$(t + 1) y' + y (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

चरण 1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(t + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d t} [1])$

चरण 1.5

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(t + 1) y' + y (1 + 0)$

चरण 1.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$(t + 1) y' + y \cdot 1$

चरण 1.7

$\frac{d y}{d t}$ को $y'$ से प्रतिस्थापित करें.

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + y \cdot 1$

चरण 1.8

$y$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + 1 \cdot y$

चरण 1.9

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + y$

चरण 2

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d t} [(t + 1) y] = \ln (t)$

चरण 3

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d t} [(t + 1) y] d t = \int \ln (t) d t$

चरण 4

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$(t + 1) y = \int \ln (t) d t$

चरण 5

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (t)$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int t \frac{1}{t} d t$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$t$ और $\frac{1}{t}$ को मिलाएं.

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t$

चरण 5.2.2

$t$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t$

चरण 5.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int d t$

चरण 5.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$(t + 1) y = \ln (t) t - (t + C)$

चरण 5.4

सरल करें.

$(t + 1) y = \ln (t) t - t + C$

चरण 6

$(t + 1) y = \ln (t) t - t + C$ के प्रत्येक पद को $t + 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$(t + 1) y = \ln (t) t - t + C$ के प्रत्येक पद को $t + 1$ से विभाजित करें.

$\frac{(t + 1) y}{t + 1} = \frac{\ln (t) t}{t + 1} + \frac{- t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

चरण 6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$t + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(t + 1) y}{t + 1} = \frac{\ln (t) t}{t + 1} + \frac{- t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

चरण 6.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\ln (t) t}{t + 1} + \frac{- t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

चरण 6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{\ln (t) t}{t + 1} - \frac{t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

चरण 6.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\ln (t) t - t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

चरण 6.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\ln (t) t - t + C}{t + 1}$

चरण 6.3.4

गुणनखंडों को $\ln (t) t - t + C$ में पुन: क्रमित करें.

$y = \frac{t \ln (t) - t + C}{t + 1}$