कैलकुलस उदाहरण

$x d y + (y - 1) d x = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $(y - 1) d x$ घटाएं.

$x d y = - (y - 1) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{x (y - 1)}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x (y - 1)} x d y = \frac{1}{x (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{x (y - 1)} x d y = \frac{1}{x (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

चरण 3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{1}{x (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{1}{x (y - 1)} (y - 1) d x$

चरण 3.3

$y - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- \frac{1}{x (y - 1)}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x (y - 1)} (y - 1) d x$

चरण 3.3.2

$x (y - 1)$ में से $y - 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) x} (y - 1) d x$

चरण 3.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) x} (y - 1) d x$

चरण 3.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x} d x$

चरण 3.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{1}{x} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

मान लीजिए $u = y - 1$ . फिर $d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

मान लें $u = y - 1$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

$y - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

चरण 4.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 4.2.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 4.2.1.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 4.2.1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.2

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y - 1$ से बदलें.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

चरण 4.3.3

सरल करें.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y - 1 |) = - \ln (| x |) + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y - 1 |) + \ln (| x |) = C$

चरण 5.2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln (| y - 1 | | x |) = C$

चरण 5.3

निरपेक्ष मानों को गुणा करने के लिए, प्रत्येक निरपेक्ष मान के अंदर के पदों को गुणा करें.

$\ln (| (y - 1) x |) = C$

चरण 5.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y x - 1 x |) = C$

चरण 5.5

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| y x - x |) = C$

चरण 5.6

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y x - x |)} = e^{C}$

चरण 5.7

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y x - x |) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = | y x - x |$

चरण 5.8

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1

समीकरण को $| y x - x | = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y x - x | = e^{C}$

चरण 5.8.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y x - x = \pm e^{C}$

चरण 5.8.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $x$ जोड़ें.

$y x = \pm e^{C} + x$

चरण 5.8.4

$y x = \pm e^{C} + x$ के प्रत्येक पद को $x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.4.1

$y x = \pm e^{C} + x$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

चरण 5.8.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.4.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

चरण 5.8.4.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

चरण 5.8.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.4.3.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.4.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

चरण 5.8.4.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + 1$

चरण 6

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{C}{x} + 1$