कैलकुलस उदाहरण

$y d x + (2 x + y) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 2 x + y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x + y]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0$

चरण 2.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $1$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2$ प्रतिस्थापित करें.

$1 = 2$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$1 = 2$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$2$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 4.2

$1$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 - 1}{M}$

चरण 4.3

$y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 - 1}{y}$

चरण 4.3.2

$y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1}{y}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

चरण 5.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

चरण 5.2.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = | y | + C$

चरण 6

$y d x + (2 x + y) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$y \cdot y d x + (2 x + y) d y = 0$

चरण 6.2

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$y^{2} d x + (2 x + y) d y = 0$

चरण 6.3

$2 x + y$ को $y$ से गुणा करें.

$y^{2} d x + (2 x + y) y d y = 0$

चरण 6.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} d x + (2 x y + y \cdot y) d y = 0$

चरण 6.5

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$y^{2} d x + (2 x y + y^{2}) d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int y^{2} d x$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = y^{2}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = y^{2} x + C$

चरण 9

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = y^{2} x + g (y)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y + y^{2}$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [y^{2} x + g (y)] = 2 x y + y^{2}$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2} x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + y^{2}$

चरण 11.3

$\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y^{2} x$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + y^{2}$

चरण 11.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + y^{2}$

चरण 11.3.3

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + y^{2}$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$2 x y + \frac{d g}{d y} = 2 x y + y^{2}$

चरण 11.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = 2 x y + y^{2}$

चरण 12

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + y^{2} - 2 x y$

चरण 12.1.2

$2 x y + y^{2} - 2 x y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

$2 x y$ में से $2 x y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

चरण 12.1.2.2

$y^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

चरण 13

$g (y)$ को खोजने के लिए $y^{2}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int y^{2} d y$

चरण 13.3

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} y^{3}$ है.

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 14

$f (x, y) = y^{2} x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = y^{2} x + \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 15

$\frac{1}{3}$ और $y^{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = y^{2} x + \frac{y^{3}}{3} + C$