कैलकुलस उदाहरण

$y'''' = 2 t e^{- 6 y} - e^{- 6 y}$ और $y (0) = 2$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$2 t e^{- 6 y} - e^{- 6 y}$ में से $e^{- 6 y}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$2 t e^{- 6 y}$ में से $e^{- 6 y}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t) - e^{- 6 y}$

चरण 1.1.2

$- e^{- 6 y}$ में से $e^{- 6 y}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t) + e^{- 6 y} \cdot - 1$

चरण 1.1.3

$e^{- 6 y} (2 t) + e^{- 6 y} \cdot - 1$ में से $e^{- 6 y}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t - 1)$

चरण 1.2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{e^{- 6 y}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- 6 y}} (e^{- 6 y} (2 t - 1))$

चरण 1.3

$e^{- 6 y}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- 6 y}} (e^{- 6 y} (2 t - 1))$

चरण 1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = 2 t - 1$

चरण 1.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} d y = (2 t - 1) d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{e^{- 6 y}} d y = \int 2 t - 1 d t$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$e^{- 6 y}$ के घातांक को नकारें और भाजक से बाहर निकालें.

$\int 1 {(e^{- 6 y})}^{- 1} d y = \int 2 t - 1 d t$

चरण 2.2.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1

घातांक को ${(e^{- 6 y})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- 6 y \cdot - 1} d y = \int 2 t - 1 d t$

चरण 2.2.1.2.1.2

$- 1$ को $- 6$ से गुणा करें.

$\int 1 e^{6 y} d y = \int 2 t - 1 d t$

चरण 2.2.1.2.2

$e^{6 y}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int e^{6 y} d y = \int 2 t - 1 d t$

चरण 2.2.2

मान लीजिए $u = 6 y$ .फिर $d u = 6 d y$ , तो $\frac{1}{6} d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

मान लें $u = 6 y$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$6 y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [6 y]$

चरण 2.2.2.1.2

चूंकि $6$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $6 y$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$6 \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.2.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$6 \cdot 1$

चरण 2.2.2.1.4

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$6$

चरण 2.2.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int e^{u} \frac{1}{6} d u = \int 2 t - 1 d t$

चरण 2.2.3

$e^{u}$ और $\frac{1}{6}$ को मिलाएं.

$\int \frac{e^{u}}{6} d u = \int 2 t - 1 d t$

चरण 2.2.4

चूँकि $\frac{1}{6}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{6}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{6} \int e^{u} d u = \int 2 t - 1 d t$

चरण 2.2.5

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$\frac{1}{6} (e^{u} + C_{1}) = \int 2 t - 1 d t$

चरण 2.2.6

सरल करें.

$\frac{1}{6} e^{u} + C_{1} = \int 2 t - 1 d t$

चरण 2.2.7

$u$ की सभी घटनाओं को $6 y$ से बदलें.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = \int 2 t - 1 d t$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = \int 2 t d t + \int - 1 d t$

चरण 2.3.2

चूँकि $2$ बटे $t$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 \int t d t + \int - 1 d t$

चरण 2.3.3

घात नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t$ का समाकलन $\frac{1}{2} t^{2}$ है.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - 1 d t$

चरण 2.3.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - t + C_{3}$

चरण 2.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ और $t^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - t + C_{3}$

चरण 2.3.5.2

सरल करें.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = t^{2} - t + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{6} e^{6 y} = t^{2} - t + K$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करें.

$6 (\frac{1}{6} e^{6 y}) = 6 (t^{2} - t + K)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$6 (\frac{1}{6} e^{6 y})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{6}$ और $e^{6 y}$ को मिलाएं.

$6 \frac{e^{6 y}}{6} = 6 (t^{2} - t + K)$

चरण 3.2.1.1.2

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 \frac{e^{6 y}}{6} = 6 (t^{2} - t + K)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{6 y} = 6 (t^{2} - t + K)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$6 (t^{2} - t + K)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{6 y} = 6 t^{2} + 6 (- t) + 6 K$

चरण 3.2.2.1.2

$- 1$ को $6$ से गुणा करें.

$e^{6 y} = 6 t^{2} - 6 t + 6 K$

चरण 3.3

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{6 y}) = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

चरण 3.4

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$6 y$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{6 y})$ का प्रसार करें.

$6 y \ln (e) = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

चरण 3.4.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$6 y \cdot 1 = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

चरण 3.4.3

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

चरण 3.5

$6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$ के प्रत्येक पद को $6$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$ के प्रत्येक पद को $6$ से विभाजित करें.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

चरण 3.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

चरण 3.5.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$

चरण 5

$t$ के लिए $0$ और $y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$ में $y$ के लिए $2$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$2 = \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6}$

चरण 6

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $\frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 2$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 2$

चरण 6.2

समीकरण के दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करें.

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 6 \cdot 2$

चरण 6.3

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 6 \cdot 2$

चरण 6.3.1.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

चरण 6.3.1.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\ln (6 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

चरण 6.3.1.1.2.2

$6$ को $0$ से गुणा करें.

$\ln (0 - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

चरण 6.3.1.1.2.3

$- 6$ को $0$ से गुणा करें.

$\ln (0 + 0 + K) = 6 \cdot 2$

चरण 6.3.1.1.3

$0 + 0 + K$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.3.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\ln (0 + K) = 6 \cdot 2$

चरण 6.3.1.1.3.2

$0$ और $K$ जोड़ें.

$\ln (K) = 6 \cdot 2$

चरण 6.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$\ln (K) = 12$

चरण 6.4

$K$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (K)} = e^{12}$

चरण 6.5

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (K) = 12$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{12} = K$

चरण 6.6

समीकरण को $K = e^{12}$ के रूप में फिर से लिखें.

$K = e^{12}$

चरण 7

$e^{12}$ को $y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$e^{12}$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})}{6}$

चरण 7.2

$\frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})}{6}$ को $\frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$

चरण 7.3

$\frac{1}{6}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$ को सरल करें.

$y = \ln ({(6 t^{2} - 6 t + e^{12})}^{\frac{1}{6}})$