कैलकुलस उदाहरण

$(y \ln (x) + y) d x + (x \ln (x) - e^{y}) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = y \ln (x) + y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (x) + y]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y \ln (x) + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y \ln (x)] + \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (x)] + \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [y \ln (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $\ln (x)$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y \ln (x)$ का व्युत्पन्न $\ln (x) \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.3

$\ln (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) + \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) + 1$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x \ln (x) - e^{y}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \ln (x) - e^{y}]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x \ln (x) - e^{y}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

चरण 2.3.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

चरण 2.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

चरण 2.3.4

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

चरण 2.3.5

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

चरण 2.3.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

चरण 2.3.6

$\ln (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

चरण 2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- e^{y}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- e^{y}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) + 0$

चरण 2.4.2

$1 + \ln (x)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x)$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $\ln (x) + 1$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $1 + \ln (x)$ प्रतिस्थापित करें.

$\ln (x) + 1 = 1 + \ln (x)$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$\ln (x) + 1 = 1 + \ln (x)$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x \ln (x) - e^{y} d y$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = x \ln (x) - e^{y}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int x \ln (x) d y + \int - e^{y} d y$

चरण 5.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = x \ln (x) y + C + \int - e^{y} d y$

चरण 5.3

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = x \ln (x) y + C - \int e^{y} d y$

चरण 5.4

$y$ के संबंध में $e^{y}$ का इंटीग्रल $e^{y}$ है.

$f (x, y) = x \ln (x) y + C - (e^{y} + C)$

चरण 5.5

सरल करें.

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$

चरण 6

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \ln (x) + y$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y - e^{y} + g (x)] = y \ln (x) + y$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x \ln (x) y] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

चरण 8.3

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x \ln (x) y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ है.

$y \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

चरण 8.3.2

$y (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

चरण 8.3.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$y (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

चरण 8.3.4

$y (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

चरण 8.3.5

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$y (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

चरण 8.3.6

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

चरण 8.3.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

चरण 8.3.7

$\ln (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$y (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

चरण 8.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- e^{y}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- e^{y}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$y (1 + \ln (x)) + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

चरण 8.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$y (1 + \ln (x)) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

चरण 8.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y \cdot 1 + y \ln (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

चरण 8.6.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.2.1

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$y + y \ln (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

चरण 8.6.2.2

$y + y \ln (x)$ और $0$ जोड़ें.

$y + y \ln (x) + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

चरण 8.6.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + y \ln (x) + y = y \ln (x) + y$

चरण 9

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$y \ln (x) - y \ln (x) = - \frac{d g}{d x} - y + y$

चरण 9.1.2

$y \ln (x)$ में से $y \ln (x)$ घटाएं.

$0 = - \frac{d g}{d x} - y + y$

चरण 9.1.3

$- \frac{d g}{d x} - y + y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$- y$ और $y$ जोड़ें.

$0 = - \frac{d g}{d x} + 0$

चरण 9.1.3.2

$- \frac{d g}{d x}$ और $0$ जोड़ें.

$0 = - \frac{d g}{d x}$

चरण 9.1.4

चूंकि $\frac{d g}{d x}$ समीकरण के दाएं पक्ष की ओर है, पक्षों को स्विच करें ताकि यह समीकरण के बाएं पक्ष की ओर हो.

$- \frac{d g}{d x} = 0$

चरण 9.1.5

$- \frac{d g}{d x} = 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.5.1

$- \frac{d g}{d x} = 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

चरण 9.1.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.5.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\frac{d g}{d x}}{1} = \frac{0}{- 1}$

चरण 9.1.5.2.2

$\frac{d g}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{- 1}$

चरण 9.1.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.5.3.1

$0$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{d g}{d x} = 0$

चरण 10

$g (x)$ को खोजने के लिए $0$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int 0 d x$

चरण 10.3

$x$ के संबंध में $0$ का इंटीग्रल $0$ है.

$g (x) = 0 + C$

चरण 10.4

$0$ और $C$ जोड़ें.

$g (x) = C$

चरण 11

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$

चरण 12

गुणनखंडों को $f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = x y \ln (x) - e^{y} + C$