कैलकुलस उदाहरण

$(x y^{2} + x) d x + (y + x^{2} y) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x y^{2} + x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} + x]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x y^{2} + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x y^{2}$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [x]$

चरण 1.3.3

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [x]$

चरण 1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 0$

चरण 1.4.2

$2 x y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = y + x^{2} y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + x^{2} y]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y + x^{2} y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

चरण 2.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x^{2} y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + y (2 x)$

चरण 2.3.3

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 y x$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$0$ और $2 y x$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x$

चरण 2.4.2

$2 y x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $2 x y$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2 x y$ प्रतिस्थापित करें.

$2 x y = 2 x y$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$2 x y = 2 x y$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x y^{2} + x d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = x y^{2} + x$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int x y^{2} d x + \int x d x$

चरण 5.2

चूँकि $y^{2}$ बटे $x$ अचर है, $y^{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = y^{2} \int x d x + \int x d x$

चरण 5.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x d x$

चरण 5.4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 5.5

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 5.6

सरल करें.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 5.7

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = y + x^{2} y$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = y + x^{2} y$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x^{2} y$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x^{2} y$

चरण 8.3.2

$\frac{y^{2}}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x^{2} y$

चरण 8.3.3

चूंकि $\frac{x^{2}}{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x^{2} y$

चरण 8.3.4

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x^{2} y$

चरण 8.3.5

$2$ और $\frac{x^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x^{2} y$

चरण 8.3.6

$\frac{2 x^{2}}{2}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x^{2} y$

चरण 8.3.7

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x^{2} y$

चरण 8.3.7.2

$x^{2} y$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x^{2} y$

चरण 8.4

चूंकि $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x^{2} y + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x^{2} y$

चरण 8.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$x^{2} y + 0 + \frac{d g}{d y} = y + x^{2} y$

चरण 8.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.1

$x^{2} y$ और $0$ जोड़ें.

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y + x^{2} y$

चरण 8.6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y + x^{2} y$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{2} y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = y + x^{2} y - x^{2} y$

चरण 9.1.2

$y + x^{2} y - x^{2} y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$x^{2} y$ में से $x^{2} y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

चरण 9.1.2.2

$y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = y$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $y$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = y$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int y d y$

चरण 10.3

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 11

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 12.2

$\frac{y^{2}}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 12.3

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 12.4

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$