कैलकुलस उदाहरण

$(y + 1) d x - (1 - x) d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $(y + 1) d x$ घटाएं.

$- (1 - x) d y = - (y + 1) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{(1 - x) (y + 1)}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(1 - x) (y + 1)} (- (1 - x)) d y = \frac{1}{(1 - x) (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$- \frac{1}{(1 - x) (y + 1)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

चरण 3.2

$1 - x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- \frac{1}{(1 - x) (y + 1)}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{- 1}{(1 - x) (y + 1)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

चरण 3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 1}{(1 - x) (y + 1)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

चरण 3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(1 - x) (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

चरण 3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{(1 - x) (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

चरण 3.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{(1 - x) (y + 1)} (y + 1) d x$

चरण 3.5

$y + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$- \frac{1}{(1 - x) (y + 1)}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(1 - x) (y + 1)} (y + 1) d x$

चरण 3.5.2

$(1 - x) (y + 1)$ में से $y + 1$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (1 - x)} (y + 1) d x$

चरण 3.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (1 - x)} (y + 1) d x$

चरण 3.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{1 - x} d x$

चरण 3.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{1 - x} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

चरण 4.2.2

मान लीजिए $u_{1} = y + 1$ . फिर $d u_{1} = d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

मान लें $u_{1} = y + 1$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

$y + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

चरण 4.2.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 4.2.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 4.2.2.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 4.2.2.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.2.2.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

चरण 4.2.3

$u_{1}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{1}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{1} |)$ है.

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

चरण 4.2.4

सरल करें.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

चरण 4.2.5

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $y + 1$ से बदलें.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 - x} d x$

चरण 4.3.2

मान लीजिए $u_{2} = 1 - x$ .फिर $d u_{2} = - d x$ , तो $- d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

मान लें $u_{2} = 1 - x$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{1}$

चरण 4.3.2.1.2

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 1$

चरण 4.3.2.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.4

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.5.2

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.6

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

चरण 4.3.7

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $1 - x$ से बदलें.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$- \ln (| y + 1 |) = \ln (| 1 - x |) + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$- \ln (| y + 1 |) - \ln (| 1 - x |) = C$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $\ln (| 1 - x |)$ जोड़ें.

$- \ln (| y + 1 |) = C + \ln (| 1 - x |)$

चरण 5.3

$- \ln (| y + 1 |) = C + \ln (| 1 - x |)$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- \ln (| y + 1 |) = C + \ln (| 1 - x |)$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

चरण 5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\ln (| y + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

चरण 5.3.2.2

$\ln (| y + 1 |)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| y + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

चरण 5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.1

ऋणात्मक को $\frac{C}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$\ln (| y + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

चरण 5.3.3.1.2

$- 1 \cdot C$ को $- C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

चरण 5.3.3.1.3

ऋणात्मक को $\frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$\ln (| y + 1 |) = - C - 1 \cdot \ln (| 1 - x |)$

चरण 5.3.3.1.4

$- 1 \cdot \ln (| 1 - x |)$ को $- \ln (| 1 - x |)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| y + 1 |) = - C - \ln (| 1 - x |)$

चरण 5.4

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y + 1 |) + \ln (| 1 - x |) = - C$

चरण 5.5

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln (| y + 1 | | 1 - x |) = - C$

चरण 5.6

निरपेक्ष मानों को गुणा करने के लिए, प्रत्येक निरपेक्ष मान के अंदर के पदों को गुणा करें.

$\ln (| (y + 1) (1 - x) |) = - C$

चरण 5.7

FOIL विधि का उपयोग करके $(y + 1) (1 - x)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y (1 - x) + 1 (1 - x) |) = - C$

चरण 5.7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y \cdot 1 + y (- x) + 1 (1 - x) |) = - C$

चरण 5.7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y \cdot 1 + y (- x) + 1 \cdot 1 + 1 (- x) |) = - C$

चरण 5.8

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| y + y (- x) + 1 \cdot 1 + 1 (- x) |) = - C$

चरण 5.8.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\ln (| y - y x + 1 \cdot 1 + 1 (- x) |) = - C$

चरण 5.8.3

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| y - y x + 1 + 1 (- x) |) = - C$

चरण 5.8.4

$- x$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| y - y x + 1 - x |) = - C$

चरण 5.9

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y - y x + 1 - x |)} = e^{- C}$

चरण 5.10

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y - y x + 1 - x |) = - C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- C} = | y - y x + 1 - x |$

चरण 5.11

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.11.1

समीकरण को $| y - y x + 1 - x | = e^{- C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y - y x + 1 - x | = e^{- C}$

चरण 5.11.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y - y x + 1 - x = \pm e^{- C}$

चरण 5.11.3

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.11.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$y - y x - x = \pm e^{- C} - 1$

चरण 5.11.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $x$ जोड़ें.

$y - y x = \pm e^{- C} - 1 + x$

चरण 5.11.4

$y - y x$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.11.4.1

$y^{1}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y \cdot 1 - y x = \pm e^{- C} - 1 + x$

चरण 5.11.4.2

$- y x$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y \cdot 1 + y (- 1 x) = \pm e^{- C} - 1 + x$

चरण 5.11.4.3

$y \cdot 1 + y (- 1 x)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (1 - 1 x) = \pm e^{- C} - 1 + x$

चरण 5.11.5

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$y (1 - x) = \pm e^{- C} - 1 + x$

चरण 5.11.6

$y (1 - x) = \pm e^{- C} - 1 + x$ के प्रत्येक पद को $1 - x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.11.6.1

$y (1 - x) = \pm e^{- C} - 1 + x$ के प्रत्येक पद को $1 - x$ से विभाजित करें.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

चरण 5.11.6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.11.6.2.1

$1 - x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.11.6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

चरण 5.11.6.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

चरण 5.11.6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.11.6.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} - \frac{1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

चरण 5.11.6.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

चरण 5.11.6.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 1 + x}{1 - x}$

चरण 6

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{C + x}{1 - x}$