कैलकुलस उदाहरण

$x^{2} d x + (x y - y) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}]$

चरण 1.2

चूंकि $y$ के संबंध में $x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x y - y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y - y]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x y - y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.3.3

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

चरण 2.4.2

$y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $0$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $y$ प्रतिस्थापित करें.

$0 = y$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$0 = y$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$0$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

चरण 4.2

$y$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - y}{N}$

चरण 4.3

$x y - y$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$x y - y$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - y}{x y - y}$

चरण 4.3.2

$0$ में से $y$ घटाएं.

$\frac{- y}{x y - y}$

चरण 4.3.3

$x y - y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$x y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- y}{y x - y}$

चरण 4.3.3.2

$- y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- y}{y x + y \cdot - 1}$

चरण 4.3.3.3

$y x + y \cdot - 1$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- y}{y (x - 1)}$

चरण 4.3.4

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- y}{y (x - 1)}$

चरण 4.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{x - 1}$

चरण 4.3.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{x - 1}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x - 1} d x}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int - \frac{1}{x - 1} d x}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x - 1} d x}$

चरण 5.2

मान लीजिए $u = x - 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

मान लें $u = x - 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$x - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 5.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 5.2.1.3

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 5.2.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 5.2.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 5.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

चरण 5.3

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

चरण 5.4

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

चरण 5.5

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x - 1 |)} + C$

चरण 5.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$- 1$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- \ln (| x - 1 |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x - 1 |}^{- 1})} + C$

चरण 5.6.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| x - 1 |}^{- 1} + C$

चरण 5.6.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = \frac{1}{| x - 1 |} + C$

चरण 6

$x^{2} d x + (x y - y) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $\frac{1}{x - 1}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x^{2}$ को $\frac{1}{x - 1}$ से गुणा करें.

$x^{2} \frac{1}{x - 1} d x + (x y - y) d y = 0$

चरण 6.2

$x^{2}$ और $\frac{1}{x - 1}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + (x y - y) d y = 0$

चरण 6.3

$x y - y$ को $\frac{1}{x - 1}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + (x y - y) \frac{1}{x - 1} d y = 0$

चरण 6.4

$x y - y$ को $\frac{1}{x - 1}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{x y - y}{x - 1} d y = 0$

चरण 6.5

$x y - y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$x y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y x - y}{x - 1} d y = 0$

चरण 6.5.2

$- y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y x + y \cdot - 1}{x - 1} d y = 0$

चरण 6.5.3

$y x + y \cdot - 1$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y (x - 1)}{x - 1} d y = 0$

चरण 6.6

$x - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y (x - 1)}{x - 1} d y = 0$

चरण 6.6.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + y d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int y d y$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = y$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 9

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x^{2}}{x - 1}$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2}}{x - 1}$

चरण 11.3

चूंकि $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2}}{x - 1}$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

चरण 11.5

$0$ और $\frac{d g}{d x}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

चरण 12

$g (x)$ को खोजने के लिए $\frac{x^{2}}{x - 1}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

चरण 12.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

चरण 12.3

$x^{2}$ को $x - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

चरण 12.3.2

भाज्य $x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x$
	$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

चरण 12.3.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

चरण 12.3.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{2} - x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

चरण 12.3.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$

चरण 12.3.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

चरण 12.3.7

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

चरण 12.3.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					+	$x$	-	$1$

चरण 12.3.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x - 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$

चरण 12.3.10

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$
							+	$1$

चरण 12.3.11

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$g (x) = \int x + 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 12.4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$g (x) = \int x d x + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 12.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 12.6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 12.7

मान लीजिए $u = x - 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.7.1

मान लें $u = x - 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.7.1.1

$x - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 12.7.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 12.7.1.3

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 12.7.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 12.7.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 12.7.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int \frac{1}{u} d u$

चरण 12.8

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \ln (| u |) + C$

चरण 12.9

सरल करें.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| u |) + C$

चरण 12.10

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

चरण 13

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

चरण 14

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

चरण 14.1.2

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

चरण 14.2

$\ln (| x - 1 |)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2}}{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot \frac{2}{2} + C$

चरण 14.3

$\ln (| x - 1 |)$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2}}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} + C$

चरण 14.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} + C$

चरण 14.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.5.1

$\ln (| x - 1 |) \cdot 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.5.1.1

$\ln (| x - 1 |)$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + 2 \cdot \ln (| x - 1 |)}{2} + C$

चरण 14.5.1.2

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \cdot \ln (| x - 1 |)$ को सरल करें.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + \ln ({| x - 1 |}^{2})}{2} + C$

चरण 14.5.2

${| x - 1 |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + \ln ({(x - 1)}^{2})}{2} + C$