कैलकुलस उदाहरण

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 2 x y$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 2 x y$ के प्रत्येक पद को $x^{2} - 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 2 x y$ के प्रत्येक पद को $x^{2} - 1$ से विभाजित करें.

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1}$

चरण 1.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

$x^{2} - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1}$

चरण 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1}$

चरण 1.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1^{2}}$

चरण 1.1.3.1.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

चरण 1.2

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} y$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} y)$

चरण 1.4

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$\frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)})$

चरण 1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)})$

चरण 1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

चरण 2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u = (x + 1) (x - 1)$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

मान लें $u = (x + 1) (x - 1)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$(x + 1) (x - 1)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

चरण 2.3.2.1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x + 1$ और $g (x) = x - 1$ है.

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 2.3.2.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 2.3.2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 2.3.2.1.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 2.3.2.1.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 2.3.2.1.3.4.2

$x + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 2.3.2.1.3.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.3.2.1.3.6

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.3.2.1.3.7

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

चरण 2.3.2.1.3.8

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.3.8.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

चरण 2.3.2.1.3.8.2

$x - 1$ को $1$ से गुणा करें.

$x + 1 + x - 1$

चरण 2.3.2.1.3.8.3

$x$ और $x$ जोड़ें.

$2 x + 1 - 1$

चरण 2.3.2.1.3.8.4

संख्याओं को घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.3.8.4.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$2 x + 0$

चरण 2.3.2.1.3.8.4.2

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 2.3.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 2.3.3.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 2.3.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 2.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.5.3

$\int \frac{1}{u} d u$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.6

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

चरण 2.3.7

$u$ की सभी घटनाओं को $(x + 1) (x - 1)$ से बदलें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y |) - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) = C$

चरण 3.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = C$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |})} = e^{C}$

चरण 3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = \frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |}$

चरण 3.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

समीकरण को $\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{C}$

चरण 3.5.2

दोनों पक्षों को $| (x + 1) (x - 1) |$ से गुणा करें.

$\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$

चरण 3.5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1.1

$| (x + 1) (x - 1) |$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$

चरण 3.5.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| y | = e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$

चरण 3.5.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.2.1

$e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.2.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 1) (x - 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.2.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| y | = e^{C} | x (x - 1) + 1 (x - 1) |$

चरण 3.5.3.2.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| y | = e^{C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |$

चरण 3.5.3.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| y | = e^{C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

चरण 3.5.3.2.1.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.2.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.2.1.2.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$| y | = e^{C} | x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

चरण 3.5.3.2.1.2.1.2

$- 1$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$| y | = e^{C} | x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

चरण 3.5.3.2.1.2.1.3

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y | = e^{C} | x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

चरण 3.5.3.2.1.2.1.4

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$| y | = e^{C} | x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |$

चरण 3.5.3.2.1.2.1.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$| y | = e^{C} | x^{2} - x + x - 1 |$

चरण 3.5.3.2.1.2.2

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$| y | = e^{C} | x^{2} + 0 - 1 |$

चरण 3.5.3.2.1.2.3

$x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$| y | = e^{C} | x^{2} - 1 |$

चरण 3.5.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1

गुणनखंडों को $e^{C} | x^{2} - 1 |$ में पुन: क्रमित करें.

$| y | = | x^{2} - 1 | e^{C}$

चरण 3.5.4.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm | x^{2} - 1 | e^{C}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \pm | x^{2} - 1 | C$

चरण 4.2

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C | x^{2} - 1 |$