कैलकुलस उदाहरण

$(2 x y + y^{2}) d x + (x^{2} + 2 x y - y) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 2 x y + y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + y^{2}]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 x y + y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $2 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x y$ का व्युत्पन्न $2 x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 y$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x^{2} + 2 x y - y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y - y]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 2 x y - y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $2 y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x y$ का व्युत्पन्न $2 y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y + 0$

चरण 2.4.2

$2 x + 2 y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $2 x + 2 y$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2 x + 2 y$ प्रतिस्थापित करें.

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 2 x y + y^{2} d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = 2 x y + y^{2}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int y^{2} d x$

चरण 5.2

चूँकि $2 y$ बटे $x$ अचर है, $2 y$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int y^{2} d x$

चरण 5.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y^{2} d x$

चरण 5.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y^{2} x + C$

चरण 5.5

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{2} x + C$

चरण 5.6

सरल करें.

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + 2 x y - y$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [y x^{2} + y^{2} x + g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y x^{2} + y^{2} x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $x^{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y x^{2}$ का व्युत्पन्न $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

चरण 8.3.2

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

चरण 8.3.3

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

चरण 8.4

$\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y^{2} x$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$x^{2} + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

चरण 8.4.2

$x^{2} + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

चरण 8.4.3

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{2} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

चरण 8.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$x^{2} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x^{2} + 2 x y - y$

चरण 8.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + x^{2} + 2 x y = x^{2} + 2 x y - y$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{2} + 2 x y - y - x^{2}$

चरण 9.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} + 2 x y - y - x^{2} - 2 x y$

चरण 9.1.3

$x^{2} + 2 x y - y - x^{2} - 2 x y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - y + 0 - 2 x y$

चरण 9.1.3.2

$2 x y - y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - y - 2 x y$

चरण 9.1.3.3

$2 x y$ में से $2 x y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = - y + 0$

चरण 9.1.3.4

$- y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = - y$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $- y$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = - y$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int - y d y$

चरण 10.3

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - \int y d y$

चरण 10.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$g (y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

चरण 10.5

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ को $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 11

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x - \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 12

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x - \frac{1}{2} y^{2} + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$y^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x - \frac{y^{2}}{2} + C$

चरण 12.2

$y^{2} x$ में से $\frac{y^{2}}{2}$ घटाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$y^{2}$ और $x$ को पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = y x^{2} + x y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + C$

चरण 12.2.2

$x y^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = y x^{2} + x y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{y^{2}}{2} + C$

चरण 12.2.3

$x y^{2}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{x y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{y^{2}}{2} + C$

चरण 12.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{x y^{2} \cdot 2 - y^{2}}{2} + C$

चरण 12.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

$x y^{2} \cdot 2 - y^{2}$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1.1

$x y^{2} \cdot 2$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2) - y^{2}}{2} + C$

चरण 12.3.1.2

$- y^{2}$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 1}{2} + C$

चरण 12.3.1.3

$y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 1$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2 - 1)}{2} + C$

चरण 12.3.2

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

चरण 12.4

$y x^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

चरण 12.5

$y x^{2}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

चरण 12.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 + y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

चरण 12.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.7.1

$y x^{2} \cdot 2 + y^{2} (2 x - 1)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.7.1.1

$y x^{2} \cdot 2$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{y (x^{2} \cdot 2) + y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

चरण 12.7.1.2

$y^{2} (2 x - 1)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{y (x^{2} \cdot 2) + y (y (2 x - 1))}{2} + C$

चरण 12.7.1.3

$y (x^{2} \cdot 2) + y (y (2 x - 1))$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{y (x^{2} \cdot 2 + y (2 x - 1))}{2} + C$

चरण 12.7.2

$2$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (x, y) = \frac{y (2 \cdot x^{2} + y (2 x - 1))}{2} + C$

चरण 12.7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = \frac{y (2 x^{2} + y (2 x) + y \cdot - 1)}{2} + C$

चरण 12.7.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f (x, y) = \frac{y (2 x^{2} + 2 y x + y \cdot - 1)}{2} + C$

चरण 12.7.5

$- 1$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (x, y) = \frac{y (2 x^{2} + 2 y x - 1 \cdot y)}{2} + C$

चरण 12.7.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

$f (x, y) = \frac{y (2 x^{2} + 2 y x - y)}{2} + C$