कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} - 12 y = 5 x + 8$

चरण 1

मान लें कि सभी समाधान $y = e^{r x}$ के रूप में हैं.

चरण 2

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} - 12 y = 5 x + 8$ के लिए अभिलाक्षणिक समीकरण पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

चरण 2.3

डिफरेन्शल इक्वेश़न में प्रतिस्थापित करें

$r^{2} e^{r x} + r e^{r x} - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

चरण 2.4

$e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$r^{2} e^{r x}$ में से $e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r x} r^{2} + r e^{r x} - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

चरण 2.4.2

$r e^{r x}$ में से $e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} r - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

चरण 2.4.3

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} r$ में से $e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r x} (r^{2} + r) - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

चरण 2.4.4

$- 12 e^{r x}$ में से $e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r x} (r^{2} + r) + e^{r x} \cdot - 12 = 5 x + 8$

चरण 2.4.5

$e^{r x} (r^{2} + r) + e^{r x} \cdot - 12$ में से $e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r x} (r^{2} + r - 12) = 5 x + 8$

चरण 2.5

चूंकि घातांक कभी शून्य नहीं हो सकते, इसलिए दोनों पक्षों को $e^{r x}$ से विभाजित करें.

$r^{2} + r - 12 = 5 x + 8$

चरण 3

$r$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

सभी अभिव्यक्तियों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $5 x$ घटाएं.

$r^{2} + r - 12 - 5 x = 8$

चरण 3.1.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $8$ घटाएं.

$r^{2} + r - 12 - 5 x - 8 = 0$

चरण 3.1.2

$- 12$ में से $8$ घटाएं.

$r^{2} + r - 5 x - 20 = 0$

चरण 3.2

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 3.3

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = 1$ और $c = - 5 x - 20$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $r$ के लिए हल करें.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 5 x - 20))}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.4.1.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.4.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.4.1.4

$- 5$ को $- 4$ से गुणा करें.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.4.1.5

$- 4$ को $- 20$ से गुणा करें.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.4.1.6

$1$ और $80$ जोड़ें.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

चरण 3.5

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.1.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.1.4

$- 5$ को $- 4$ से गुणा करें.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.1.5

$- 4$ को $- 20$ से गुणा करें.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.1.6

$1$ और $80$ जोड़ें.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

चरण 3.5.3

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$r = \frac{- 1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

चरण 3.5.4

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$r = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

चरण 3.5.5

$\sqrt{20 x + 81}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{20 x + 81})}{2}$

चरण 3.5.6

$- 1 (1) - 1 (- \sqrt{20 x + 81})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{- 1 (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}$

चरण 3.5.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

चरण 3.6

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6.1.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6.1.4

$- 5$ को $- 4$ से गुणा करें.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6.1.5

$- 4$ को $- 20$ से गुणा करें.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6.1.6

$1$ और $80$ जोड़ें.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

चरण 3.6.3

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$r = \frac{- 1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

चरण 3.6.4

$- 1 - \sqrt{20 x + 81}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.4.1

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

चरण 3.6.4.2

$- \sqrt{20 x + 81}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{20 x + 81})}{2}$

चरण 3.6.4.3

$- 1 (1) - (\sqrt{20 x + 81})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{- 1 (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}$

चरण 3.6.4.4

$- 1 (1 + \sqrt{20 x + 81})$ को $- (1 + \sqrt{20 x + 81})$ के रूप में फिर से लिखें.

$r = \frac{- (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}$

चरण 3.6.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

चरण 3.7

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

चरण 4

$r$ के दो पाए गए मानों के साथ, दो समाधानों का निर्माण किया जा सकता है.

$y_{1} = e^{- \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

$y_{2} = e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

चरण 5

सुपरपोज़िशन के सिद्धांत के अनुसार, सामान्य समाधान दूसरे क्रम के सजातीय रैखिक डिफरेन्शल इक्वेश़न के लिए दो समाधानों का एक रैखिक संयोजन है.

$y = c_{1} e^{- \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2} x} + c_{2} e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

चरण 6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x$ और $\frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$ को मिलाएं.

$y = c_{1} e^{- \frac{x (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}} + c_{2} e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

चरण 6.2

$x$ और $\frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$ को मिलाएं.

$y = c_{1} e^{- \frac{x (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}} + c_{2} e^{- \frac{x (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}}$