कैलकुलस उदाहरण

$x (y d) y - (x^{2} + 2) d x = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों में $(x^{2} + 2) d x$ जोड़ें.

$x y d y = (x^{2} + 2) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$x y$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{x} (x (y)) d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

चरण 3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

चरण 3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

चरण 3.2

$\frac{1}{x}$ को $x^{2} + 2$ से गुणा करें.

$y d y = \frac{x^{2} + 2}{x} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int y d y = \int \frac{x^{2} + 2}{x} d x$

चरण 4.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 2}{x} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

भिन्न को अनेक भिन्नों में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{2}{x} d x$

चरण 4.3.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

चरण 4.3.3

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

चरण 4.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{2}{x} d x$

चरण 4.3.3.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{2}{x} d x$

चरण 4.3.3.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{2}{x} d x$

चरण 4.3.3.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{2}{x} d x$

चरण 4.3.3.2.5

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x + \int \frac{2}{x} d x$

चरण 4.3.4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{2}{x} d x$

चरण 4.3.5

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 \int \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3.6

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 (\ln (| x |) + C_{3})$

चरण 4.3.7

सरल करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C_{4}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

चरण 5.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

चरण 5.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

चरण 5.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

चरण 5.2.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (2 \ln (| x |)) + 2 C$

चरण 5.2.2.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.3.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (2 \ln (| x |)) + 2 C$

चरण 5.2.2.1.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} = x^{2} + 2 (2 \ln (| x |)) + 2 C$

चरण 5.2.2.1.3.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$y^{2} = x^{2} + 4 \ln (| x |) + 2 C$

चरण 5.3

$4$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $4 \ln (| x |)$ को सरल करें.

$y^{2} = x^{2} + \ln ({| x |}^{4}) + 2 C$

चरण 5.4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln ({| x |}^{4}) + 2 C}$

चरण 5.5

${| x |}^{4}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

चरण 5.6

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

चरण 5.6.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

चरण 5.6.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

चरण 6

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + C}$