कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{N}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (2 (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N)$

चरण 1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 \frac{1}{N} ((1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N)$

चरण 1.2.2

$2$ और $\frac{1}{N}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{2}{N} ((1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N)$

चरण 1.2.3

$N$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$(1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N$ में से $N$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{2}{N} (N (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})))$

चरण 1.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{2}{N} (N (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})))$

चरण 1.2.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 π t}{24}))$

चरण 1.2.4

$2$ और $24$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$2 π t$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 (π t)}{24}))$

चरण 1.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

$24$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 (π t)}{2 \cdot 12}))$

चरण 1.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 (π t)}{2 \cdot 12}))$

चरण 1.2.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{π t}{12}))$

चरण 1.2.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 \cdot 1 + 2 (- \cos (\frac{π t}{12}))$

चरण 1.2.6

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 + 2 (- \cos (\frac{π t}{12}))$

चरण 1.2.7

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 - 2 \cos (\frac{π t}{12})$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{N} d N = (2 - 2 \cos (\frac{π t}{12})) d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{N} d N = \int 2 - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

चरण 2.2

$N$ के संबंध में $\frac{1}{N}$ का इंटीग्रल $\ln (| N |)$ है.

$\ln (| N |) + C_{1} = \int 2 - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (| N |) + C_{1} = \int 2 d t + \int - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

चरण 2.3.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} + \int - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

चरण 2.3.3

चूँकि $- 2$ बटे $t$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (\frac{π t}{12}) d t$

चरण 2.3.4

मान लीजिए $u = \frac{π t}{12}$ .फिर $d u = \frac{π}{12} d t$ , तो $\frac{12}{π} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

मान लें $u = \frac{π t}{12}$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1.1

$\frac{π t}{12}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [\frac{π t}{12}]$

चरण 2.3.4.1.2

चूंकि $\frac{π}{12}$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $\frac{π t}{12}$ का व्युत्पन्न $\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]$ है.

$\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 2.3.4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{π}{12} \cdot 1$

चरण 2.3.4.1.4

$\frac{π}{12}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{π}{12}$

चरण 2.3.4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (u) \frac{1}{\frac{π}{12}} d u$

चरण 2.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$\frac{π}{12}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (u) (1 \frac{12}{π}) d u$

चरण 2.3.5.2

$\frac{12}{π}$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (u) \frac{12}{π} d u$

चरण 2.3.5.3

$\cos (u)$ और $\frac{12}{π}$ को मिलाएं.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \frac{\cos (u) \cdot 12}{π} d u$

चरण 2.3.5.4

$12$ को $\cos (u)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \frac{12 \cos (u)}{π} d u$

चरण 2.3.6

चूँकि $\frac{12}{π}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{12}{π}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 (\frac{12}{π} \int \cos (u) d u)$

चरण 2.3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$\frac{12}{π}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} + \frac{12 \cdot - 2}{π} \int \cos (u) d u$

चरण 2.3.7.2

$12$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} + \frac{- 24}{π} \int \cos (u) d u$

चरण 2.3.7.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - \frac{24}{π} \int \cos (u) d u$

चरण 2.3.8

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - \frac{24}{π} (\sin (u) + C_{3})$

चरण 2.3.9

सरल करें.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t - \frac{24}{π} \sin (u) + C_{4}$

चरण 2.3.10

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{π t}{12}$ से बदलें.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t - \frac{24}{π} \sin (\frac{π t}{12}) + C_{4}$

चरण 2.3.11

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + C_{4}$

चरण 2.3.12

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\ln (| N |) + C_{1} = - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| N |) = - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C$

चरण 3

$N$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$N$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| N |)} = e^{- \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C}$

चरण 3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| N |) = - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C} = | N |$

चरण 3.3

$N$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $| N | = e^{- \frac{24}{π} \cdot \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| N | = e^{- \frac{24}{π} \cdot \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C}$

चरण 3.3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$\sin (\frac{π}{12} t)$ और $\frac{24}{π}$ को मिलाएं.

$| N | = e^{- \frac{\sin (\frac{π}{12} t) \cdot 24}{π} + 2 t + C}$

चरण 3.3.2.2

$24$ को $\sin (\frac{π}{12} t)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$| N | = e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t + C}$

चरण 3.3.3

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$N = \pm e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t + C}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t + C}$ को $e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$N = \pm e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t} e^{C}$

चरण 4.2

$e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$N = \pm e^{C} e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t}$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$N = C e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t}$