कैलकुलस उदाहरण

$x (y d) x + (x + 1) d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x y d x$ घटाएं.

$(x + 1) d y = - x y d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{(x + 1) y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(x + 1) y} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$(x + 1) y$ में से $x + 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{(x + 1) (y)} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

चरण 3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{(x + 1) y} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

चरण 3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(x + 1) y} (x y) d x$

चरण 3.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- \frac{1}{(x + 1) y}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(x + 1) y} (x y) d x$

चरण 3.3.2

$(x + 1) y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 1)} (x y) d x$

चरण 3.3.3

$x y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 1)} (y x) d x$

चरण 3.3.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 1)} (y x) d x$

चरण 3.3.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x + 1} x d x$

चरण 3.4

$\frac{- 1}{x + 1}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{x + 1} d x$

चरण 3.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 4.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 4.3.2

$x$ को $x + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x$

$0$

चरण 4.3.2.2

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

चरण 4.3.2.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

चरण 4.3.2.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x + 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

चरण 4.3.2.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

चरण 4.3.2.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 4.3.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

चरण 4.3.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

चरण 4.3.5

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

चरण 4.3.6

मान लीजिए $u = x + 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.6.1

मान लें $u = x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.6.1.1

$x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 4.3.6.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.3.6.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.3.6.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 4.3.6.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.3.6.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 4.3.7

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3}))$

चरण 4.3.8

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x - \ln (| u |)) + C_{4}$

चरण 4.3.9

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{4}$

चरण 4.3.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

चरण 4.3.10.2

$- - \ln (| x + 1 |)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.10.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

चरण 4.3.10.2.2

$\ln (| x + 1 |)$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y |) - \ln (| x + 1 |) = - x + C$

चरण 5.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| y |}{| x + 1 |}) = - x + C$

चरण 5.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x + 1 |})} = e^{- x + C}$

चरण 5.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{| y |}{| x + 1 |}) = - x + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- x + C} = \frac{| y |}{| x + 1 |}$

चरण 5.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

समीकरण को $\frac{| y |}{| x + 1 |} = e^{- x + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{| y |}{| x + 1 |} = e^{- x + C}$

चरण 5.5.2

दोनों पक्षों को $| x + 1 |$ से गुणा करें.

$\frac{| y |}{| x + 1 |} | x + 1 | = e^{- x + C} | x + 1 |$

चरण 5.5.3

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1

$| x + 1 |$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| y |}{| x + 1 |} | x + 1 | = e^{- x + C} | x + 1 |$

चरण 5.5.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| y | = e^{- x + C} | x + 1 |$

चरण 5.5.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.1

गुणनखंडों को $e^{- x + C} | x + 1 |$ में पुन: क्रमित करें.

$| y | = | x + 1 | e^{- x + C}$

चरण 5.5.4.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm | x + 1 | e^{- x + C}$

चरण 6

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$e^{- x + C}$ को $e^{- x} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm | x + 1 | (e^{- x} e^{C})$

चरण 6.2

$e^{- x}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm | x + 1 | (e^{C} e^{- x})$

चरण 6.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C | x + 1 | e^{- x}$