कैलकुलस उदाहरण

$x d y = y (x e^{2 x} + 1) d x$

चरण 1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{x y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$x y$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

चरण 2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

चरण 2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

चरण 2.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$x y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

चरण 2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

चरण 2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x} (x e^{2 x} + 1) d x$

चरण 2.3

$\frac{1}{x}$ को $x e^{2 x} + 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

चरण 3

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

चरण 3.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

चरण 3.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

भिन्न को अनेक भिन्नों में विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} + \frac{1}{x} d x$

चरण 3.3.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

चरण 3.3.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

चरण 3.3.3.2

$e^{2 x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

चरण 3.3.4

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 3.3.4.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3.4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 3.3.4.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 3.3.4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

चरण 3.3.5

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

चरण 3.3.6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x} d x$

चरण 3.3.7

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

चरण 3.3.8

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

चरण 3.3.9

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + \ln (| x |) + C_{4}$

चरण 3.3.10

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C_{4}$

चरण 3.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C$

चरण 4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) = \frac{e^{2 x}}{2} + \ln (| x |) + C$

चरण 4.2

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$

चरण 4.3

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$

चरण 4.4

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

चरण 4.5

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

चरण 4.6

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

समीकरण को $\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

चरण 4.6.2

दोनों पक्षों को $| x |$ से गुणा करें.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

चरण 4.6.3

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.3.1

$| x |$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

चरण 4.6.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| y | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

चरण 4.6.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.4.1

गुणनखंडों को $e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$ में पुन: क्रमित करें.

$| y | = | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

चरण 4.6.4.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

चरण 5

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$ को $e^{\frac{e^{2 x}}{2}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm | x | (e^{\frac{e^{2 x}}{2}} e^{C})$

चरण 5.2

$e^{\frac{e^{2 x}}{2}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm | x | (e^{C} e^{\frac{e^{2 x}}{2}})$

चरण 5.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2}}$