कैलकुलस उदाहरण

$(x + 3 x^{3} \sin (y)) d x + (x^{4} \cos (y)) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x + 3 x^{3} \sin (y)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 3 x^{3} \sin (y)]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x + 3 x^{3} \sin (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$

चरण 1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $3 x^{3}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 x^{3} \sin (y)$ का व्युत्पन्न $3 x^{3} \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x^{3} \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

चरण 1.3.2

$y$ के संबंध में $\sin (y)$ का व्युत्पन्न $\cos (y)$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x^{3} \cos (y)$

चरण 1.4

$0$ और $3 x^{3} \cos (y)$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{3} \cos (y)$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x^{4} \cos (y)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} \cos (y)]$

चरण 2.2

चूंकि $\cos (y)$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x^{4} \cos (y)$ का व्युत्पन्न $\cos (y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) (4 x^{3})$

चरण 2.4

पुन: व्यवस्थित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$4$ को $\cos (y)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 \cdot \cos (y) x^{3}$

चरण 2.4.2

$4 \cos (y) x^{3}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} \cos (y)$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $3 x^{3} \cos (y)$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $4 x^{3} \cos (y)$ प्रतिस्थापित करें.

$3 x^{3} \cos (y) = 4 x^{3} \cos (y)$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$3 x^{3} \cos (y) = 4 x^{3} \cos (y)$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$3 x^{3} \cos (y)$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

चरण 4.2

$4 x^{3} \cos (y)$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - (4 x^{3} \cos (y))}{N}$

चरण 4.3

$x^{4} \cos (y)$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$x^{4} \cos (y)$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - (4 x^{3} \cos (y))}{x^{4} \cos (y)}$

चरण 4.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$3 x^{3} \cos (y) - 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)$ में से $x^{3} \cos (y)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$3 x^{3} \cos (y)$ में से $x^{3} \cos (y)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{3} \cos (y) (3) - 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)}{x^{4} \cos (y)}$

चरण 4.3.2.1.2

$- 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)$ में से $x^{3} \cos (y)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{3} \cos (y) (3) + x^{3} \cos (y) (- 1 \cdot 4)}{x^{4} \cos (y)}$

चरण 4.3.2.1.3

$x^{3} \cos (y) (3) + x^{3} \cos (y) (- 1 \cdot 4)$ में से $x^{3} \cos (y)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{3} \cos (y) (3 - 1 \cdot 4)}{x^{4} \cos (y)}$

चरण 4.3.2.2

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} \cos (y) (3 - 4)}{x^{4} \cos (y)}$

चरण 4.3.2.3

$3$ में से $4$ घटाएं.

$\frac{x^{3} \cos (y) \cdot - 1}{x^{4} \cos (y)}$

चरण 4.3.3

$x^{3}$ और $x^{4}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$x^{3} \cos (y) \cdot - 1$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{4} \cos (y)}$

चरण 4.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.2.1

$x^{4} \cos (y)$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{3} (x \cos (y))}$

चरण 4.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{3} (x \cos (y))}$

चरण 4.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\cos (y) \cdot - 1}{x \cos (y)}$

चरण 4.3.4

$\cos (y)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\cos (y) \cdot - 1}{x \cos (y)}$

चरण 4.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{x}$

चरण 4.3.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{x}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

चरण 5.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

चरण 5.3

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

चरण 5.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$- 1$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- \ln (| x |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

चरण 5.4.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

चरण 5.4.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

चरण 6

$(x + 3 x^{3} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x + 3 x^{3} \sin (y)$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$(x + 3 x^{3} \sin (y)) \frac{1}{x} d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x \frac{1}{x} + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

चरण 6.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$(x \frac{1}{x} + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

चरण 6.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$(1 + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

चरण 6.4

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$3 x^{3} \sin (y)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$(1 + x (3 x^{2} \sin (y)) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

चरण 6.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$(1 + x (3 x^{2} \sin (y)) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

चरण 6.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

चरण 6.5

$x^{4} \cos (y)$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) \frac{1}{x} d y = 0$

चरण 6.6

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

$x^{4} \cos (y)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x (x^{3} \cos (y)) \frac{1}{x} d y = 0$

चरण 6.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x (x^{3} \cos (y)) \frac{1}{x} d y = 0$

चरण 6.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{3} \cos (y) d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x^{3} \cos (y) d y$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = x^{3} \cos (y)$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

चूँकि $x^{3}$ बटे $y$ अचर है, $x^{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = x^{3} \int \cos (y) d y$

चरण 8.2

$y$ के संबंध में $\cos (y)$ का इंटीग्रल $\sin (y)$ है.

$f (x, y) = x^{3} (\sin (y) + C)$

चरण 8.3

सरल करें.

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + C$

चरण 9

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + g (x)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y) + g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} \sin (y) + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

चरण 11.3

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $\sin (y)$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x^{3} \sin (y)$ का व्युत्पन्न $\sin (y) \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

चरण 11.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\sin (y) (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

चरण 11.3.3

$3$ को $\sin (y)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 \sin (y) x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$3 \sin (y) x^{2} + \frac{d g}{d x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

चरण 11.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} \sin (y) = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

चरण 12

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 x^{2} \sin (y)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y) - 3 x^{2} \sin (y)$

चरण 12.1.2

$1 + 3 x^{2} \sin (y) - 3 x^{2} \sin (y)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

$3 x^{2} \sin (y)$ में से $3 x^{2} \sin (y)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 1 + 0$

चरण 12.1.2.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 1$

चरण 13

$g (x)$ को खोजने के लिए $1$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d x} = 1$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int d x$

चरण 13.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$g (x) = x + C$

चरण 14

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + x + C$