कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{{(6 + x)}^{2}}$ , $y (0) = 6$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $7$ बटे $x$ अचर है, $7$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{{(6 + x)}^{2}} d x$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u = 6 + x$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

मान लें $u = 6 + x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$6 + x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [6 + x]$

चरण 2.3.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $6 + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + 1$

चरण 2.3.2.1.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.3.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

चरण 2.3.3

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$u^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$y + C_{1} = 7 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

चरण 2.3.3.2

घातांक को ${(u^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 7 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

चरण 2.3.3.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = 7 \int u^{- 2} d u$

चरण 2.3.4

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- 2}$ का समाकलन $- u^{- 1}$ है.

$y + C_{1} = 7 (- u^{- 1} + C_{2})$

चरण 2.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$7 (- u^{- 1} + C_{2})$ को $7 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

चरण 2.3.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.1

$- 1$ को $7$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = - 7 \frac{1}{u} + C_{2}$

चरण 2.3.5.2.2

$- 7$ और $\frac{1}{u}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{- 7}{u} + C_{2}$

चरण 2.3.5.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y + C_{1} = - \frac{7}{u} + C_{2}$

चरण 2.3.6

$u$ की सभी घटनाओं को $6 + x$ से बदलें.

$y + C_{1} = - \frac{7}{6 + x} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = - \frac{7}{6 + x} + K$

चरण 3

$x$ के लिए $0$ और $y = - \frac{7}{6 + x} + K$ में $y$ के लिए $6$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$6 = - \frac{7}{6 + 0} + K$

चरण 4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $- \frac{7}{6 + 0} + K = 6$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{7}{6 + 0} + K = 6$

चरण 4.2

$6$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{7}{6} + K = 6$

चरण 4.3

$K$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{7}{6}$ जोड़ें.

$K = 6 + \frac{7}{6}$

चरण 4.3.2

$6$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$K = 6 \cdot \frac{6}{6} + \frac{7}{6}$

चरण 4.3.3

$6$ और $\frac{6}{6}$ को मिलाएं.

$K = \frac{6 \cdot 6}{6} + \frac{7}{6}$

चरण 4.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$K = \frac{6 \cdot 6 + 7}{6}$

चरण 4.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

$6$ को $6$ से गुणा करें.

$K = \frac{36 + 7}{6}$

चरण 4.3.5.2

$36$ और $7$ जोड़ें.

$K = \frac{43}{6}$

चरण 5

$\frac{43}{6}$ को $y = - \frac{7}{6 + x} + K$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{43}{6}$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = - \frac{7}{6 + x} + \frac{43}{6}$

चरण 5.2

$- \frac{7}{6 + x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$y = - \frac{7}{6 + x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{43}{6}$

चरण 5.3

$\frac{43}{6}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{6 + x}{6 + x}$ से गुणा करें.

$y = - \frac{7}{6 + x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{43}{6} \cdot \frac{6 + x}{6 + x}$

चरण 5.4

प्रत्येक व्यंजक को $(6 + x) \cdot 6$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$\frac{7}{6 + x}$ को $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$y = - \frac{7 \cdot 6}{(6 + x) \cdot 6} + \frac{43}{6} \cdot \frac{6 + x}{6 + x}$

चरण 5.4.2

$\frac{43}{6}$ को $\frac{6 + x}{6 + x}$ से गुणा करें.

$y = - \frac{7 \cdot 6}{(6 + x) \cdot 6} + \frac{43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

चरण 5.4.3

$(6 + x) \cdot 6$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$y = - \frac{7 \cdot 6}{6 (6 + x)} + \frac{43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

चरण 5.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{- 7 \cdot 6 + 43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

चरण 5.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$- 7$ को $6$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 42 + 43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

चरण 5.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- 42 + 43 \cdot 6 + 43 x}{6 (6 + x)}$

चरण 5.6.3

$43$ को $6$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 42 + 258 + 43 x}{6 (6 + x)}$

चरण 5.6.4

$- 42$ और $258$ जोड़ें.

$y = \frac{216 + 43 x}{6 (6 + x)}$