कैलकुलस उदाहरण

$6 x + \frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x} = 12 x^{2}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\frac{d y}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\frac{1}{y}$ और $\frac{d y}{d x}$ को मिलाएं.

$6 x + \frac{\frac{d y}{d x}}{y} = 12 x^{2}$

चरण 1.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $6 x$ घटाएं.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{y} = 12 x^{2} - 6 x$

चरण 1.1.3

दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{y} y = (12 x^{2} - 6 x) y$

चरण 1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1.1

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{y} y = (12 x^{2} - 6 x) y$

चरण 1.1.4.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = (12 x^{2} - 6 x) y$

चरण 1.1.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d y}{d x} = 12 x^{2} y - 6 x y$

चरण 1.2

$12 x^{2} y - 6 x y$ में से $6 x y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$12 x^{2} y$ में से $6 x y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = 6 x y (2 x) - 6 x y$

चरण 1.2.2

$- 6 x y$ में से $6 x y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = 6 x y (2 x) + 6 x y (- 1)$

चरण 1.2.3

$6 x y (2 x) + 6 x y (- 1)$ में से $6 x y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = 6 x y (2 x - 1)$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (6 x y (2 x - 1))$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y} (x y (2 x - 1))$

चरण 1.4.2

$6$ और $\frac{1}{y}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (x y (2 x - 1))$

चरण 1.4.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

$x y (2 x - 1)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y (x (2 x - 1)))$

चरण 1.4.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y (x (2 x - 1)))$

चरण 1.4.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (x (2 x - 1))$

चरण 1.4.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (x (2 x) + x \cdot - 1)$

चरण 1.4.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x \cdot x + x \cdot - 1)$

चरण 1.4.6

$- 1$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x \cdot x - 1 \cdot x)$

चरण 1.4.7

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.7.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.7.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x)$

चरण 1.4.7.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x^{2} - 1 \cdot x)$

चरण 1.4.7.2

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x^{2} - x)$

चरण 1.4.8

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x^{2}) + 6 (- x)$

चरण 1.4.9

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 12 x^{2} + 6 (- x)$

चरण 1.4.10

$- 1$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 12 x^{2} - 6 x$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = (12 x^{2} - 6 x) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 12 x^{2} - 6 x d x$

चरण 2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 12 x^{2} - 6 x d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 12 x^{2} d x + \int - 6 x d x$

चरण 2.3.2

चूँकि $12$ बटे $x$ अचर है, $12$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 \int x^{2} d x + \int - 6 x d x$

चरण 2.3.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 6 x d x$

चरण 2.3.4

चूँकि $- 6$ बटे $x$ अचर है, $- 6$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 6 \int x d x$

चरण 2.3.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

चरण 2.3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3}) x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.1

$12$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{12}{3} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.2

$12$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.2.1

$12$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.2.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{1} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.2.2.4

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.3

$- 6$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{- 6}{2} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.4

$- 6$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.4.1

$- 6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{- 3}{1} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.4.2.4

$- 3$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} - 3 x^{2} + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = 4 x^{3} - 3 x^{2} + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y |)} = e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$

चरण 3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y |) = 4 x^{3} - 3 x^{2} + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C} = | y |$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $| y | = e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y | = e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$

चरण 3.3.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$ को $e^{4 x^{3} - 3 x^{2}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm e^{4 x^{3} - 3 x^{2}} e^{C}$

चरण 4.2

$e^{4 x^{3} - 3 x^{2}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm e^{C} e^{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C e^{4 x^{3} - 3 x^{2}}$