कैलकुलस उदाहरण

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 0$

चरण 1

जाँच करें कि क्या समीकरण का बायाँ पक्ष $(1 + e^{x}) y$ पद के व्युत्पन्न का परिणाम है.

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चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 1 + e^{x}$ और $g (x) = y$ है.

$(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$(1 + e^{x}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

चरण 1.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$(1 + e^{x}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 1.5

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + e^{x})$

चरण 1.6

$0$ और $e^{x}$ जोड़ें.

$(1 + e^{x}) y' + y e^{x}$

चरण 1.7

$\frac{d y}{d x}$ को $y'$ से प्रतिस्थापित करें.

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + y e^{x}$

चरण 2

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] = 0$

चरण 3

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] d x = \int 0 d x$

चरण 4

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$(1 + e^{x}) y = \int 0 d x$

चरण 5

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

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चरण 5.1

$x$ के संबंध में $0$ का इंटीग्रल $0$ है.

$(1 + e^{x}) y = 0 + C$

चरण 5.2

$0$ और $C$ जोड़ें.

$(1 + e^{x}) y = C$

चरण 6

$(1 + e^{x}) y = C$ के प्रत्येक पद को $1 + e^{x}$ से भाग दें और सरल करें.

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चरण 6.1

$(1 + e^{x}) y = C$ के प्रत्येक पद को $1 + e^{x}$ से विभाजित करें.

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

चरण 6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

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चरण 6.2.1

$1 + e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

चरण 6.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{C}{1 + e^{x}}$