कैलकुलस उदाहरण

$x (y^{2} - 4) d x + y d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x (y^{2} - 4) d x$ घटाएं.

$y d y = - x (y^{2} - 4) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y^{2} - 4}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y^{2} - 4} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{2} - 2^{2}} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

चरण 3.1.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = y$ और $b = 2$ .

$\frac{1}{(y + 2) (y - 2)} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

चरण 3.2

$\frac{1}{(y + 2) (y - 2)}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

चरण 3.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = - \frac{1}{y^{2} - 4} (x (y^{2} - 4)) d x$

चरण 3.4

$y^{2} - 4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$- \frac{1}{y^{2} - 4}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} (x (y^{2} - 4)) d x$

चरण 3.4.2

$x (y^{2} - 4)$ में से $y^{2} - 4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} ((y^{2} - 4) x) d x$

चरण 3.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} ((y^{2} - 4) x) d x$

चरण 3.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = - x d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \int - x d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

मान लीजिए $u = (y + 2) (y - 2)$ .फिर $d u = 2 y d y$ , तो $\frac{1}{2} d u = y d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

मान लें $u = (y + 2) (y - 2)$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

$(y + 2) (y - 2)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [(y + 2) (y - 2)]$

चरण 4.2.1.1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ है, जहाँ $f (y) = y + 2$ और $g (y) = y - 2$ है.

$(y + 2) \frac{d}{d y} [y - 2] + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

चरण 4.2.1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.3.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ है.

$(y + 2) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

चरण 4.2.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(y + 2) (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

चरण 4.2.1.1.3.3

चूंकि $y$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(y + 2) (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

चरण 4.2.1.1.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$(y + 2) \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

चरण 4.2.1.1.3.4.2

$y + 2$ को $1$ से गुणा करें.

$y + 2 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

चरण 4.2.1.1.3.5

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ है.

$y + 2 + (y - 2) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2])$

चरण 4.2.1.1.3.6

$y + 2 + (y - 2) (1 + \frac{d}{d y} [2])$

चरण 4.2.1.1.3.7

चूंकि $y$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$y + 2 + (y - 2) (1 + 0)$

चरण 4.2.1.1.3.8

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.3.8.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$y + 2 + (y - 2) \cdot 1$

चरण 4.2.1.1.3.8.2

$y - 2$ को $1$ से गुणा करें.

$y + 2 + y - 2$

चरण 4.2.1.1.3.8.3

$y$ और $y$ जोड़ें.

$2 y + 2 - 2$

चरण 4.2.1.1.3.8.4

संख्याओं को घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.3.8.4.1

$2$ में से $2$ घटाएं.

$2 y + 0$

चरण 4.2.1.1.3.8.4.2

$2 y$ और $0$ जोड़ें.

$2 y$

चरण 4.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - x d x$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - x d x$

चरण 4.2.2.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int - x d x$

चरण 4.2.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - x d x$

चरण 4.2.4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - x d x$

चरण 4.2.5

सरल करें.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - x d x$

चरण 4.2.6

$u$ की सभी घटनाओं को $(y + 2) (y - 2)$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = \int - x d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - \int x d x$

चरण 4.3.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

चरण 4.3.3

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ को $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |))$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(y + 2) (y - 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) + 2 (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 5.2.1.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 5.2.1.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 5.2.1.1.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.2.1

$y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.2.1.1

गुणनखंडों को $y \cdot - 2$ और $2 y$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 5.2.1.1.2.1.2

$- 2 y$ और $2 y$ जोड़ें.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 5.2.1.1.2.1.3

$y \cdot y$ और $0$ जोड़ें.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 5.2.1.1.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.2.2.1

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 5.2.1.1.2.2.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 4 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 5.2.1.1.2.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.2.3.1

$\frac{1}{2}$ और $\ln (| y^{2} - 4 |)$ को मिलाएं.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 5.2.1.1.2.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.2.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 5.2.1.1.2.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 5.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1

$x^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + C)$

चरण 5.2.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 C$

चरण 5.2.2.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.3.1

$- \frac{x^{2}}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 C$

चरण 5.2.2.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 C$

चरण 5.2.2.1.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = - x^{2} + 2 C$

चरण 5.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y^{2} - 4 |)} = e^{- x^{2} + 2 C}$

चरण 5.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y^{2} - 4 |) = - x^{2} + 2 C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- x^{2} + 2 C} = | y^{2} - 4 |$

चरण 5.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

समीकरण को $| y^{2} - 4 | = e^{- x^{2} + 2 C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y^{2} - 4 | = e^{- x^{2} + 2 C}$

चरण 5.5.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y^{2} - 4 = \pm e^{- x^{2} + 2 C}$

चरण 5.5.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$y^{2} = \pm e^{- x^{2} + 2 C} + 4$

चरण 5.5.4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2} + 2 C} + 4}$

चरण 6

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2} + C} + 4}$

चरण 6.2

$e^{- x^{2} + C}$ को $e^{- x^{2}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2}} e^{C} + 4}$

चरण 6.3

$e^{- x^{2}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{- x^{2}} + 4}$

चरण 6.4

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = \pm \sqrt{C e^{- x^{2}} + 4}$